Am besten rechnen wir das mal für ein konkretes \(N\) durch. Dann wird das Prinzip hoffentlich deutlich.

Nehmen wir mal \( N=4 \).

\( \mathbb{Z}_4 \) besteht aus den Elementen \( \{0,1,2,3\} \).

\( \mathbb{Z}_4[x] \) ist der Polynomring über \( \mathbb{Z}_4 \), besteht also aus Polynomen, dessen Koeffizienten in \( \mathbb{Z}_4 \) liegen. Beispielsweise sind \( x^5+3x^3+1 \) und \( 2x^4+x^2+3 \) und auch \( x^2+1 \) in \( \mathbb{Z}_4[x] \).

\( (x^2+1) \) ist das von \( x^2+1 \) erzeugte Hauptideal in \( \mathbb{Z}_4[x] \). Es besteht aus den Vielfachen von \( x^2+1 \), also beispielsweise ist \( 2x^4+x^2+3 \) in \( (x^2+1) \), denn \( 2x^4+x^2+3 = (2x^2+3) \cdot (x^2+1) \).

\( \mathbb{Z}_4[x] / (x^2+1) \) ist der Faktorring \( \mathbb{Z}_4[x] \) modulo \( (x^2+1) \). Hierbei bestehen die Restklassen jeweils aus Polynomen in \( \mathbb{Z}_4[x] \), die beim Teilen durch \( x^2+1 \) den gleichen Rest lassen. Also beispielsweise ist \( x^5+3x^3+1 \) in der Äquivalenzklasse \( [2x+1] \), denn \( x^5+3x^3+1 = (x^3+2x) \cdot (x^2+1) + 2x+1 \). Und \( 2x^4+x^2+3 \) ist in der Äquivalenzklasse \( [0] \), denn \( 2x^4+x^2+3 = (2x^2+3) \cdot (x^2+1) + 0 \).

\( (\mathbb{Z}_4[x] / (x^2+1))^* \) ist die Einheitengruppe von \( \mathbb{Z}_4[x] / (x^2+1) \), besteht also aus den Restklassen von \( \mathbb{Z}_4[x] / (x^2+1) \), die ein multiplikatives Inverses besitzen. Beispielsweise ist \( [2x+1] \) in \( (\mathbb{Z}_4[x] / (x^2+1))^* \), denn \( [2x+1] \cdot [2x+1] = [ (2x+1) \cdot (2x+1) ] = [1] \). Andererseits ist \( [0] \) nicht in \( (\mathbb{Z}_4[x] / (x^2+1))^* \), da es keine Äquivalenzklasse \( [P(x)] \) gibt mit \( [0] \cdot [P(x)] = [1] \).

\( \mathbb{Z}_4^* \) ist die Einheitengruppe von \( \mathbb{Z}_4 \). Es ist \( \mathbb{Z}_4^* = \{1,3\} \).

\( (\mathbb{Z}_4[x] / (x^2+1))^* / \mathbb{Z}_4^* \) ist nun die Faktorgruppe \( (\mathbb{Z}_4[x] / (x^2+1))^* \) modulo \( \mathbb{Z}_4^* \). Hierbei liegen jene Äquivalenzklassen von \( (\mathbb{Z}_4[x] / (x^2+1))^* \) in der gleichen Äquivalenzklasse von \( (\mathbb{Z}_4[x] / (x^2+1))^* / \mathbb{Z}_4^* \), die sich genau um ein Element aus \( \mathbb{Z}_4^* = \{1,3\} \) unterscheiden.