Bruchgleichungen auflösen nach X

Aufrufe: 760     Aktiv: 04.09.2020 um 09:27
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Guten Abend,

leider benötige ich nochmals die Hilfe des Forums, dafür entschuldige ich mich.

Jedoch sitze ich schon den ganzen Nachmittag an den folgenden Aufgaben und komme einfach nicht auf das Ergebnis. Jedesmal komme ich auf das Ergebnis eine PQ-Formel zu benutzen, was aber auch nicht das Ergebnis bringt... Teilweise errechne ich plötzlich 3 verschiedenen Lösungsansätze für die PQ-Formel....

b) Lösung soll x1 = 2, x2= 3 + Wurzel aus 8 x3 = 3 - Wurzel aus 8

Hier habe ich gar keinen Lösungsansatz, da ich nicht verstehe, wie hier drei Lösungen für X sein können. Selbst wenn ich in der 2ten Gleichung die PQ-Formel nutze, komme ich nicht auf x2 und x3. Ich weiß auch nicht ob in der 1. Gleichung x-2 = x1 = 2 sein soll....

c)

Hier scheitere ich glaube ich an der "2-". Ich versuche, wie es überall im Internet steht und auch in den Videos gezeigt wird, die Brüche mit ihren Nennern zu multiplizieren, sodass diese wegfallen. Jedoch lande ich am Ende bei irgendeiner PQ-Formel, die mir dann trotzdem nicht das Ergebnis bringt, was x = -1,4 ist. Hier saß ich am längsten dran.
Meine Gleichung sah im Endeffekt immer so aus: (2x-2) * (2x+4) = 2 - 4 * (6x+12) oder (2x-2) * (2x+4) = 2 * (6x+12) * (2x+4) - 4 * (6x+12) - aber ich komme einfach nicht auf die -1,4.. Ich verstehe es auch nicht und finde auch keine Hilfestellungen mehr, die mich weiterbringen. Teilweise bekomme ich zum Schluss bei der PQ-Formel dann unter der Wurzel ein negatives Ergebnis raus, sodass man die Wurzel ja nicht ziehen kann.... Ich verzweifel inzwischen.

 

d)

Dachte eigentlich, die Aufgabe wäre einfach, aber auch hier habe ich das Problem, dass die PQ-Formel nicht das gewünschte Ergebnis von x = - 8/5 ergibt. Hier habe ich die Gleichung wie folgt aufgestellt:
32 * ( 2x+4) = 5x * (8x+16)

-> 64x + 128 = 40x^2 + 80x / -64x / -128 = 40x^2 - 16x - 128

Dann PQ Formel mit x^2 - 0,4x - 3,2 = 0 Dann komme ich auf: x1 = 0,2 + Wurzel aus 3,21 bzw. x2 = 0,2 - Wurzel aus 3,21 - aber auch hier nicht das richtige Ergebnis....

 

Wo zum Teufel liegen meine Fehler? Das kann doch nicht so schwer sein.

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Wie du inzwischen siehst, gibt es auch verschiedene Vorgehensweisen, eine Bruchgleichung zu lösen. :-) Wichtig ist einfach, dass die Umformungen, die man macht, richtig vorgenommen werden. So ist zb bei Aufgabe c die erste deiner Gleichungen falsch, die zweite aber richtig, wenngleich nicht ideal, weil zu kompliziert. Habe eben mit dieser deiner Gleichung bei c auch das richtige Ergebnis bekommen. Das heißt, du hast dich dann irgendwo einfach verrechnet. :-)
Generell sollte man auf jeden Fall immer erst die Nenner ansehen und prüfen, welche Gemeinsamkeiten es gibt. Stichwort hier: Faktorisieren, entweder durch Ausklammern oder binomische Formeln. Dann kann man sich nämlich einiges an Arbeit sparen und kommt unter Umständen auch auf einfachere Gleichungen. C und d sind eben nach geschicktem Umformen lineare Gleichungen und keine quadratischen.
Außerdem sollte man nicht vergessen zu prüfen, ob berechnete Ergebnisse tatsächlich auch Lösungen der Bruchgleichungen sind, da es hier ja Einschränkungen im Definitionsbereich gibt. :-)   ─   andima 03.09.2020 um 19:25
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zu b) \( {{x-2} \over (x-1)(x-3)} = {x^2 -6x +8 \over (x^2-9)} = {x^2 -6x +8 \over (x-3)(x+3)}\)
Jetzt kannst du auf beiden Seiten mit (x-3) multiplizieren dann fällt im Nenner links und rechts  jeweils (x-3) weg.
Dann wird  links und rechts jeweils mit (x-1) und (x+3) multpliziert. Es bleibt
\( (x-2)*(x+3) = (x^2 -6x +8)(x-1)\) ausmultiplizieren
\((x^2 +x-6)= x^3 -6x^2 +8x -x^2 +6x -8) \) jetzt auf beiden Seiten (x^2 +x -6) abziehen. Bleibt
\(0 =x^3 -8x^2 +13x -2 \)
Hier verrate ich dir noch, dass x=2 Nullstelle ist.
Dann bleibt noch eine quadratische Gleichung über, die mit p/q Formel zu lösen ist.

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Danke! Gerade selber gerechnet und komme auf die Lösungen. x2 und x3 habe ich auch. Danke dir.   ─   premiumgrade 04.09.2020 um 09:10

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d ist tatsächlich die einfachste Aufgabe. :-) Der Fehler liegt darin, dass du -64x rechnest und dann mit 80x - 64x auf -16 x kommst. Das sind halt +16x. Änder das und das Ergebnis passt dann auch. Aber bei deiner Vorgehensweise bekommst du zwei Lösungen: x1 = -2 und x2 = 1,6. Bedenke, dass die Gleichung für -2 gar nicht definiert ist!!!

Besser wäre aber ein anderes Vorgehen. Betrachte den ersten Nenner und stell fest, dass 8x + 16 = 4 * (2x + 4) ist! Deshalb die ganze Gleichung mit 4 * (2x + 4) multiplizieren, dann bleibt vom ersten Bruch einfach nur der Zähler übrig und vom zweiten Bruch der Zähler * 4. Dann hast du eine lineare Gleichung und kommst auch nur auf eine, die richtige Lösung! :-)

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Danke, war tatsächlich richtig simple... Sollte mir die Nenner einfach viel genauer anschauen...   ─   premiumgrade 04.09.2020 um 09:27

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Zur c): Ich würde dden Bruch auf der rechten Seite durch Addition auf die andere Seite bringen. Jetzt würde ich die beiden Brüche links zusammen addieren, wobei der Hauptnenner 6x + 12 ist. Daher musst du den rechten Bruch mit drei erweitern. Jetzt steht nach der Addition auf der linken Seite noch ein Bruch und rechts lediglich die 2. durch Multiplikation mit dem Nenner schaffst du es den Bruch los zu kriegen. Wenn du jetzt noch das übrige der linken Seite durch Subtraktion auf die andere Seite bringst, Hast du eine Gleichung die nach null aufgelöst ist. Meinst du, du schaffst die zu lösen?

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Danke. Habe die Lösung nun. Ich denke, ich habe mich total von dem Minus, vor dem rechten Bruch irritieren lassen. Auf die Idee, den einfach auf die andere Seite zu nehmen bin ich gar nicht gekommen.....

Danke!   ─   premiumgrade 04.09.2020 um 09:23

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bei d solltest du mal die Nenner scharf anschauen 8x +16 = 4(2x+ 4) die 4 kürzt du mit der 32 ; auf beiden Seiten mit 2x+4 multiplizieren.
Bleibt  8 = 5x.

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