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Tipp in der Übung war, zunächst eine Abbildung zu wählen und mit dem UVR "auszuprobieren" und dann eine Abbildung zu finden, wo der UVR Kern ist.
Das habe ich versucht, hat mir aber nicht wirkllich geholfen. Ich wäre wie immer dankbar für einen kleinen Tipp.
Vielen Dank!
Hallo,
es hängt wie immer davon ab, was du schon weißt. Am elegantesten wäre wohl dieser Weg:
Sei \(U\) ein Unterraum und sei \(U^{\perp}\) das orthogonale Komplement. Dann gilt \(K^n=U\oplus U^{\perp}\). Sei \(f\) orthogonale Projektion,
So gilt \(Ker\left ( f \right )=U\).
\(\square\)
Ihr geht wohl aber einen anderen Weg.
Sei also wieder \(U\) Unterraum, mit Basis \(\left ( e_1,...,e_p \right )\). Diese Basis ergänzen wir zu \(\left ( e_1,...,e_p,e_{p+1},...,e_n \right )\) einer Basis des \(K^n\).
Jetzt betrachten wir den Endomorphismus \(f:K^n\rightarrow K^n\) mit \(f(e_i)=0\) für \(i\in\left \{ 1,...,p \right \}\) und \(f(e_i)=e_i\) für \(i\in\left \{ p+1,...,n \right \}\).
Den Rest überlasse ich dir zum Üben.
Gruß,
Gauß
PS:
Ganz nützlich zu wissen:
Um eine lineare Abbildung zu definieren reicht es, dessen Werte für die Basiselemente zu definieren.
Lehrer/Professor, Punkte: 1.99K
"Bis auf die Ergänzung der Basis verstehe ich leider recht wenig davon"- Was denn genau? Was ein https://de.wikipedia.org/wiki/Endomorphismus#Vektorr%C3%A4ume">Endomorphismus ist, sollte dir bekannt sein.
Deinen anderen Fragen entnehme ich, dass ihr euch gerade mit https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix">Abbildungsmatrizen beschäftigt.
Du könntest also einfach die Darstellungsmatrix \(M\left ( f \right )\) bestimmen und musst nur noch folgern, dass ein Element genau dann das homogene LGS löst, wenn es im Unterraum ist. Das war es dann auch schon. ─ carl-friedrich-gauss 03.12.2018 um 18:27
Es tut mir leid, aber ich komme beim besten Willen nicht mit. Wir sollen ja geeignete Basen wählen und lineare Abbildungen bilden? Wie mache ich das? Endomorphismen hatten wir übrigens ebenfalls noch nicht. Deshalb verstehe ich leider nicht, wieso der Teil hinter f gilt.
─ tisterfrimster 03.12.2018 um 19:19Die Basen habe ich ja schon gewählt (\(e_i\)). Die lineare Abbildung habe ich ebenfalls schon angegeben (das ist das \(f\)).
Der (Vektorraum-)Endomorphismus ist nichts anderes als eine lineare Abbildung \(g:V\rightarrow V\).
"Deshalb verstehe ich leider nicht, wieso der Teil hinter f gilt."- Wir definieren unsere lineare Abbildung \(f\) gerade so, dass die Basiselemente unseres Unterraums auf \(0\) abgebildet werden und die anderen eben auf sich selbst.
─ carl-friedrich-gauss 03.12.2018 um 20:45Du könntest also einfach die Darstellungsmatrix \(M\left ( f \right )\) bestimmen und musst nur noch folgern, dass ein Element genau dann das homogene LGS löst, wenn es im Unterraum ist. Das war es dann auch schon.
Mit anderen Worten, musst du nur folgern, dass \(M\left ( f \right )x=0\Leftrightarrow x\in U\) gilt, wobei \(M\left ( f \right )\) die Darstellungsmatrix von \(f\) sei.
─ carl-friedrich-gauss 03.12.2018 um 22:20
Ganz normal wie sonst auch. Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix#Abbildungen_in_allgemeine_Vektorr%C3%A4ume" rel="nofollow">hier für ein Beispiel.
Was meinst du mit " Im unkonkreten Fall "?
─ carl-friedrich-gauss 03.12.2018 um 23:20