Nein, \(V+U\) hast du nicht ganz richtig angegeben. WIe in der Aufgabenstellung steht, ist \(V+U=\{v+u\colon v\in V,u\in U\}\), also jeder Vektor, der als Summe von Elementen in \(V,U\) dargestellt werden kann. Ist \(A\) ein Erzeugendensystem von \(U\) und \(B\) ein Erzeugendensystem von \(V\), dann ist \(A\cup B\) ein Erzeugendensystem von \(V+U\), das kann man einfach zeigen. In deinem Fall hast du also \(V+U=Span\{(1,1,1),(3,0,-3),(0,-2,2)\}\).

Es gilt \(\dim V=1,\dim U=2\), wie du gesagt hast. Das kann man einfach aus der Anzahl der Erzeugendenvektoren ablesen, da diese offensichtlich linear unabhängig sind. Für \(\dim(V+U)\) muss man ein bisschen arbeiten: Sind die drei Vektoren, die \(V+U\) erzeugen, linear unabhängig? Wenn ja, dann ist die Dimension 3, sonst 2 (sie kann nicht kleiner als 2 sein, da ja \(\dim(V+U)\geq\dim U=2\) gelten muss.) Um den Schnitt zu bestimmen, musst du die Lösungen von $$\lambda_1(1,1,1)=\lambda_2(3,0,-3)+\lambda_3(0,-2,2)$$ bestimmen.