Betrachten wir beispielhaft einmal die erste Geradengleichung. Diese sagt folgendes aus:

\( x_1 = 5+t \),

\( x_2 = 1 \),

\( x_3 = 1+t \).

Das können wir in die Ebenengleichung einsetzen und erhalten damit die Gleichung

\( 3 \cdot (5+t) + 5 \cdot 1 - 2 \cdot (1+t) = 7 \)

Wenn wir auf der linken Seite alles ausmultiplizieren und vereinfachen erhalten wir

\( 18 + t = 7 \).

Subtrahiere 18 auf beiden Seiten und wir erhalten

\( t = -11 \).

Wenn wir diesen Wert für \(t\) nun in die Geradengleichung einsetzen erhalten wir für den Schnittpunkt S:

\( S = \left( \begin{array} {} 5-11\\1+0\\1-11\end{array} \right) = \left( \begin{array} {} -6\\1\\-10\end{array} \right) \).

Eine Probe in der Ebenengleichung liefert:

\( 3 \cdot (-6) + 5 \cdot 1 - 2 \cdot (-10) = -18+5-(-20) = 7 \).

Die Gleichung ist erfüllt. Der Punkt liegt sowohl auf der Geraden als auch in der Ebene.

Genau so kannst du auch mit den weiteren Aufgabenteilen verfahren. Es kann nur sein, dass eine Gerade komplett in der Ebene liegt und dadurch unendlich viele Schnittpunkte hat, oder Gerade und Ebene parallel verlaufen, so dass gar kein Schnittpunkt existiert.