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Wenn eine Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) gegen \( a \) konvergiert, dann ist die Menge ihrer Häufungspunkte gleich \( \{a\} \). Wenn ihr das in der Vorlesung (noch) nicht besprochen habt, dann kannst du dir das ja mal selbst überlegen. Jedenfalls dürfte dich dieser Fakt zum Ziel führen, denn die gegebene Folge ist konvergent.
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Wirklich? Ich kann mir das selbst überlegen? Darauf wäre ich nie gekommen.
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pabelito89
11.11.2020 um 18:52
Ja, das ist sogar recht einfach, wenn man sich das visuell mal veranschaulicht. Aber bleiben wir hier mal beim Formalen. Dass \( a \) ein Häufungspunkt ist, sollte klar sein. Nehmen wir jetzt irgendeinen anderen Wert \( b \). Dann liegen in dem Ball \( B_{\frac{\vert a - b \vert}{3}} (a) \) fast alle Folgenglieder von \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) (denn \(a\) ist ja der Grenzwert). Also können in dem Ball \( B_{\frac{\vert a - b \vert}{3}} (b) \), der außerhalb von dem anderen Ball liegt, nur endlich viele Folgenglieder liegen. Damit kann \( b \) kein Häufungspunkt sein. Und damit ist die Aussage auch schon gezeigt.
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42
11.11.2020 um 19:04
Ein Häufungspunkt gilt ja folgendermaßen definiert: "Sei (an)n∈N eine Folge. Ein Wert a∈R heißt Häufungspunkt der Folge, wenn eine Teilfolge (ank)k∈N existiert, die gegen a konvergiert. "
1. Wie kommst du auf die Formel aus deinem Kommentar? Die von mir erwähnte Folge sieht anders aus.
2. Welcher Häufungspunkt ist denn a? Ich erkenne nicht, dass die Folge gegen einen bestimmten Wert a konvergiert noch was die Teilfolge sein soll. Laut verschiedener Erklärungen kriegt man Teilfolgen wenn man entweder mal nur ungerade Zahlen einsetzt und mal nur gerade Zahlen. Ist das richtig ? Vielleicht können wir hier mal ansetzen. Danke vielmals. ─ pabelito89 11.11.2020 um 20:19
1. Wie kommst du auf die Formel aus deinem Kommentar? Die von mir erwähnte Folge sieht anders aus.
2. Welcher Häufungspunkt ist denn a? Ich erkenne nicht, dass die Folge gegen einen bestimmten Wert a konvergiert noch was die Teilfolge sein soll. Laut verschiedener Erklärungen kriegt man Teilfolgen wenn man entweder mal nur ungerade Zahlen einsetzt und mal nur gerade Zahlen. Ist das richtig ? Vielleicht können wir hier mal ansetzen. Danke vielmals. ─ pabelito89 11.11.2020 um 20:19
Ein weiteres Problem besteht für mich auch darin, dass für Folgenindex 1 die Folge = 1 ist und für n+1 die andere Definition gilt. Wäre dann 1 schon ein Häufungspunkt oder wie muss ich das berücksichtigen? Bitte um Erklärung.
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pabelito89
11.11.2020 um 20:21
Man kann einen Häufungspunkt auch anders sehen, nämlich so: "\(a\) ist ein Häufungspunkt von \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \), wenn in jeder Umgebung von \(a\) unendlich viele Folgenglieder liegen." Den Grenzwert kann man ähnlich betrachten: "\(a\) ist Grenzwert der Folge, wenn in jeder Umgebung von \(a\) alle bis auf endlich viel Folgenglieder liegen." Darüber kannst du ja vielleicht mal nachdenken.
Zu deiner Frage 1: Ich verstehe leider nicht, welche Formel du meinst. Eigentlich habe ich gar keine Formel verwendet. Und ich habe mich auch generell eher allgemein gehalten.
Zu 2: Ich habe gesagt, dass \(a\) der Grenzwert der Folge sein soll. Dass der Grenzwert \( a \) einer konvergenten Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) immer auch ein Häufungspunkt ist, sollte klar sein, denn als konvergente Teilfolge, die gegen \(a\) konvergiert, können wir einfach die Folge selbst nehmen.
In der konkreten Aufgabe konvergiert die Folge. Schau dir mal ein paar der Folgenglieder an, dann kriegst du einen besseren Eindruck davon. Es ist nun deine Aufgabe, den Grenzwert zu bestimmen (bzw. nachzuweisen). Das muss dann der einzige Häufungspunkt sein.
Zur Teilfolge: Bei einer Teilfolge picke ich mir einfach einige Folgenglieder heraus. Dabei habe ich nur zwei Einschränkungen: Ich muss mir unendlich viele Folgenglieder herauspicken und ich muss sie in der richtigen Reihenfolge aufschreiben. Ansonsten bin ich völlig frei. Wenn ich also die Folge \( (-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,\dots) \) habe, dann kann ich mir zum Beispiel alle Folgenglieder heraussuchen, die Primzahlen sind, also \( (2,3,5,7,\dots) \), oder ich nehme alle ab dem sechsten Folgenglied, also \( (2,3,4,5,6,\dots) \), oder ich nehme nur alle positiven Folgenglieder, also \( (1,2,3,4,\dots) \). All diese Folgen sind Teilfolgen der ursprünglichen Folge, denn sie haben unendlich viele Folgenglieder und ihre Folgenglieder sind in der gleichen Reihenfolge, wie sie in der ursprünglichen Folge auftauchen. Ich hoffe, das war verständlich.
Die \(1\) ist kein Häufungspunkt der Folge. Die Folge fängt einfach mit der \(1\) an, dann kommt \( 14,06... \), dann \( 7,74... \), dann \( 9,89... \), dann \( 9,03... \), dann \( 9,36 \) und so weiter. Ich kann dir verraten: Aus diesen Gliedern lässt sich keine Teilfolge bauen, die gegen \( 1 \) konvergiert, also kann \( 1 \) kein Häufungspunkt sein. Wie ich schon gesagt habe, konvergiert die Folge (so wie wir auch schon erahnen können gegen einen Wert, der in der Nähe der \(9\) liegt), also kann sie gar keinen anderen Häufungspunkt besitzen; nur ihren Grenzwert als Häufungspunkt. ─ 42 11.11.2020 um 21:16
Zu deiner Frage 1: Ich verstehe leider nicht, welche Formel du meinst. Eigentlich habe ich gar keine Formel verwendet. Und ich habe mich auch generell eher allgemein gehalten.
Zu 2: Ich habe gesagt, dass \(a\) der Grenzwert der Folge sein soll. Dass der Grenzwert \( a \) einer konvergenten Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) immer auch ein Häufungspunkt ist, sollte klar sein, denn als konvergente Teilfolge, die gegen \(a\) konvergiert, können wir einfach die Folge selbst nehmen.
In der konkreten Aufgabe konvergiert die Folge. Schau dir mal ein paar der Folgenglieder an, dann kriegst du einen besseren Eindruck davon. Es ist nun deine Aufgabe, den Grenzwert zu bestimmen (bzw. nachzuweisen). Das muss dann der einzige Häufungspunkt sein.
Zur Teilfolge: Bei einer Teilfolge picke ich mir einfach einige Folgenglieder heraus. Dabei habe ich nur zwei Einschränkungen: Ich muss mir unendlich viele Folgenglieder herauspicken und ich muss sie in der richtigen Reihenfolge aufschreiben. Ansonsten bin ich völlig frei. Wenn ich also die Folge \( (-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,\dots) \) habe, dann kann ich mir zum Beispiel alle Folgenglieder heraussuchen, die Primzahlen sind, also \( (2,3,5,7,\dots) \), oder ich nehme alle ab dem sechsten Folgenglied, also \( (2,3,4,5,6,\dots) \), oder ich nehme nur alle positiven Folgenglieder, also \( (1,2,3,4,\dots) \). All diese Folgen sind Teilfolgen der ursprünglichen Folge, denn sie haben unendlich viele Folgenglieder und ihre Folgenglieder sind in der gleichen Reihenfolge, wie sie in der ursprünglichen Folge auftauchen. Ich hoffe, das war verständlich.
Die \(1\) ist kein Häufungspunkt der Folge. Die Folge fängt einfach mit der \(1\) an, dann kommt \( 14,06... \), dann \( 7,74... \), dann \( 9,89... \), dann \( 9,03... \), dann \( 9,36 \) und so weiter. Ich kann dir verraten: Aus diesen Gliedern lässt sich keine Teilfolge bauen, die gegen \( 1 \) konvergiert, also kann \( 1 \) kein Häufungspunkt sein. Wie ich schon gesagt habe, konvergiert die Folge (so wie wir auch schon erahnen können gegen einen Wert, der in der Nähe der \(9\) liegt), also kann sie gar keinen anderen Häufungspunkt besitzen; nur ihren Grenzwert als Häufungspunkt. ─ 42 11.11.2020 um 21:16
Kleiner Funfact am Rande: Der Startwert ist beinahe egal. Solange er größer als Null ist, kommt immer der gleiche Grenzwert raus. Das ist eine Konsequenz aus dem banachschen Fixpunktsatz. Vielleicht kennst du den ja schon. (Edit: Wenn man noch etwas mehr Arbeit reinsteckt, dann sieht man, dass sogar für jeden Startwert größer als \( -15 \) der gleiche Grenzwert herauskommt)
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42
11.11.2020 um 21:35
Vielen Dank für diese Erklärung. Sie hat mir jetzt etwas mehr geholfen dieses Thema zu verstehen.
Leider bleibt für mich noch die Frage offen, wie du auf 14,06 als nächstes kommst. Wenn ich die 2 als nachfolgenden Index einsetze komme ich auf 13,23529... dann bei der 3 auf 12,5 ect.
Wenn ich ganz hohe natürliche Zahlen einsetze als Folgenindex bekomme ich Ergebnisse raus weit unter 9 zum Beispiel für Folgenindex 100 komme ich auf ein Ergebnis von: 1,956521... ─ pabelito89 16.11.2020 um 12:25
Leider bleibt für mich noch die Frage offen, wie du auf 14,06 als nächstes kommst. Wenn ich die 2 als nachfolgenden Index einsetze komme ich auf 13,23529... dann bei der 3 auf 12,5 ect.
Wenn ich ganz hohe natürliche Zahlen einsetze als Folgenindex bekomme ich Ergebnisse raus weit unter 9 zum Beispiel für Folgenindex 100 komme ich auf ein Ergebnis von: 1,956521... ─ pabelito89 16.11.2020 um 12:25
Ich glaube, du verstehst die rekursive Definition der Folge nicht. Das nächste Folgenglied wird immer aus dem vorherigen Folgenglied zusammengebastelt. Wir beginnen mit \( a_0=1 \). Dann folgt \( a_1 = \frac{225}{a_0+15} = \frac{225}{1+15} = 14,06... \). Dann kommt \( a_2 = \frac{225}{a_1+15} = \frac{225}{14,06...+15} = 7,74... \). Dann kommt \( a_3 = \frac{225}{a_2+15} = \frac{225}{7,74...+15} = 9,89... \). Und so weiter. Okay?
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42
17.11.2020 um 01:38
Für den Folgenindex \( n=100 \) erhalten wir somit übrigens \( a_{100} = 9,270509... \).
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42
17.11.2020 um 01:42
Ah ok, da triffst du glaub ich ins Schwarze bei mir. Hatte bisher noch nie rekursiv definierte Folgen. Kannte den Begriff noch nicht einmal obwohl ich mehrere Mathe Bücher zu Folgen gelesen habe. Interessant werde mal mehr zu rekursiven Folgen lesen.
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pabelito89
17.11.2020 um 11:44
Danke. Das du mir erklärt hast, dass diese Art der Definition auf Rekursivität hindeutet hilft mir weiter. 👍🏼
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pabelito89
17.11.2020 um 11:45
Ich war es gewohnt, dass Folgen Funktionen sind wo natürliche Zahlen eingesetzt werden und reelle Zahlen rauskommen. Aber gut, wieder was neues gelernt.
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pabelito89
17.11.2020 um 11:50
Allgemein ist eine Folge einfach eine Funktion \( a: \mathbb{N} \to M \), wobei \( M \) irgendeine Menge sein kann (man ist also nicht nur auf reelle Zahlen beschränkt, sondern die Folgenglieder können alles mögliche sein, zum Beispiel Funktionen, komplexe Zahlen, Ringe, usw.). Man bezeichnet dann einfach die Funktion \( a \) als eine Folge und den Funktionswert \( a(n) \) als das \( n \)-te Folgenglied \( a_n \). Und wie man das von komplizierteren Funktionen kennt, muss es für die Funktion nicht immer einen geschlossenen Funktionsterm geben. Im Fall rekursiver Folgen ist \( a(n+1) \) halt mithilfe des Vorgängers \( a(n) \) definiert. Wahrscheinlich ist das einer der größten Unterschieden zwischen der Schul- und der Uni-Mathematik. In der Schule lernen wir, dass es zu Funktionen immer einen schönen Funktionsterm gibt, sowas wie \( f(x)= x^2 + 3x - 1 \) oder \( g(x)=e^x \). Das ist aber die falsche Vorstellung von Funktionen. Eine Funktion ist einfach eine Teilmenge des kartesischen Produkts der Definitions- und Ziel-Menge \( D \times Z \), für die bestimmte Eigenschaften gelten (Linkstotalität und Rechtseindeutigkeit). D.h. es muss für eine Funktion nicht notwendigerweise einen Funktionsterm geben.
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42
17.11.2020 um 17:34
Funktionen nach meinem bisherigen Wissen sind Abbildungen von einer Menge auf eine andere zum Beispiel natürliche Zahlen auf reelle Zahlen oder reelle Zahlen auf komplexe Zahlen usw. Dass es Funktionen ohne Funktionsterm geben soll höre ich tatsächlich zum ersten Mal. Wie sähe denn eine Funktion ohne Funktionsterm aus?
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pabelito89
19.11.2020 um 09:58
Dass eine Funktion eine Abbildung zwischen zwei Mengen ist, ist eine gute und im Prinzip auch richtige Vorstellung. Wenn man das aber axiomatisch fassen will, dann muss man aufpassen. Wir wissen ja erstmal gar nicht, was Abbildungen sind und ob sowas überhaupt existiert. Deshalb macht man Folgendes:
Sei \(A\) eine Menge. Wir nennen ein Tupel \( f=(G,B) \) bestehend aus einer Menge \( B \) und einer Relation \( G \subset A \times B \) eine Funktion, wenn gilt \( \forall a \in A \exists ! b \in B: (a,b) \in G \). \( G \) heißt dann Graph von \(f\) und wir schreiben \( f(a)=b \) genau dann, wenn \( (a,b) \in G \) ist.
Das ist eine der üblichen mengentheoretischen Definitionen und vielleicht auch die intuitivste (Es gibt auch andere Definitionen. Mann kann eine Funktion \(f\) zum Beispiel auch einfach durch ihren Graphen \( G \) definieren. Vom Prinzip her unterscheiden sich diese Definitionen nur in kleinen Details). Wichtig ist, dass damit jetzt auch alles formal auf einem sicheren Fundament steht.
Damit ist jetzt aber auch klar, dass man ziemlich komische Sachen als Funktionen rausbekommen kann. Beispielsweise ist \( f = (G, \{ rot, gelb, grün, blau \}) \) mit \( G=\{ (A, rot), (B,grün), (C,grün) \} \subset \{ A, B, C \} \times \{ rot, gelb, grün, blau \} \) nach der obigen Definition eine Funktion. Dass diese Funktion keinen klassischen Funktionsterm besitzt, dürfte klar sein (Es wäre zumindest eine Fallunterscheidung erforderlich). Man kann die ganze Sache aber noch viel weiter treiben. Die Vorstellungskraft ist dabei eigentlich nur an die mathematischen Axiome gebunden und ansonsten völlig frei. ─ 42 19.11.2020 um 13:54
Sei \(A\) eine Menge. Wir nennen ein Tupel \( f=(G,B) \) bestehend aus einer Menge \( B \) und einer Relation \( G \subset A \times B \) eine Funktion, wenn gilt \( \forall a \in A \exists ! b \in B: (a,b) \in G \). \( G \) heißt dann Graph von \(f\) und wir schreiben \( f(a)=b \) genau dann, wenn \( (a,b) \in G \) ist.
Das ist eine der üblichen mengentheoretischen Definitionen und vielleicht auch die intuitivste (Es gibt auch andere Definitionen. Mann kann eine Funktion \(f\) zum Beispiel auch einfach durch ihren Graphen \( G \) definieren. Vom Prinzip her unterscheiden sich diese Definitionen nur in kleinen Details). Wichtig ist, dass damit jetzt auch alles formal auf einem sicheren Fundament steht.
Damit ist jetzt aber auch klar, dass man ziemlich komische Sachen als Funktionen rausbekommen kann. Beispielsweise ist \( f = (G, \{ rot, gelb, grün, blau \}) \) mit \( G=\{ (A, rot), (B,grün), (C,grün) \} \subset \{ A, B, C \} \times \{ rot, gelb, grün, blau \} \) nach der obigen Definition eine Funktion. Dass diese Funktion keinen klassischen Funktionsterm besitzt, dürfte klar sein (Es wäre zumindest eine Fallunterscheidung erforderlich). Man kann die ganze Sache aber noch viel weiter treiben. Die Vorstellungskraft ist dabei eigentlich nur an die mathematischen Axiome gebunden und ansonsten völlig frei. ─ 42 19.11.2020 um 13:54
Ich sollte vielleicht dazu sagen, dass es völlig normal ist, wenn dich diese mengentheoretischen Definitionen erstmal verwirren. Man kommt mit der intuitiven Vorstellung schon ziemlich weit. Aber Mathematiker wollen auch immer eine streng formale Definition und gerade solche grundlegenden Dinge sind oft nur sehr schwer und/oder kompliziert zu fassen. Sowas ist dann auch eher eine Spielerei, die interessant, aber nicht unbedingt wichtig für die tägliche Arbeit ist. Also wenn es dich verwirrt oder es dich nicht interessiert, dann kannst du es einfach wieder vergessen.
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42
19.11.2020 um 14:09
Vielen Dank für deine guten Erklärungen.
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pabelito89
20.11.2020 um 18:59
Sehr gerne :)
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42
20.11.2020 um 22:13