Dein Beweis ist so leider nicht verständlich. Beispielsweise folgerst du aus \( \sup (-A) \ge y \), dass \( -a \ge y\) ist. Aber du schreibst gar nicht, woher dieses \(a\) denn kommt. Für ein allgemeines \(a \in A\) ist die Implikation nämlich nicht korrekt.

Für den Beweis genügt es auch eigentlich zu zeigen, dass \(- \inf(A)\) die Eigenschaften des Supremums von \(-A\) erfüllt.

Zunächst ist \(- \inf(A) \) eine obere Schranke von \(-A\), denn: Sei \(x \in -A\), dann ist \(-x \in A\) und somit nach Definition des Infimums \( \inf(A) \le -x\) bzw. \( - \inf(A) \ge x\).

Außerdem ist \(- \inf(A) \) kleinste obere Schranke von \(-A\), denn: Sei \(\varepsilon > 0\) gegeben, dann gibt es nach Definition des Infimums ein \(x \in A\) mit \( \inf(A) + \varepsilon > x\) bzw. \( - \inf(A) - \varepsilon < -x\), wobei \(-x \in -A\) ist.

Somit gilt also \(- \inf(A) = \sup(-A) \).