Die Funktion \(f\) ist stetig in dem Grenzpunkt \(a\) (dort, wo der Wechsel zwischen den definierenden Ausdrücken stattfindet), falls rechts- und linksseitiger Grenzwert von \(f\) in \(a\) übereinstimmen.  Dabei benutzt Du jeweils die verschiedenen Definitionen von \(f\) auf beiden Seiten von \(a\).

Die Stetigkeit von \(f\) in \(a\) ist eine notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit. Ist \(f\) in \(a\) stetig, dann müssen für die Differenzierbarkeit noch rechts- und linksseitige Ableitung von \(f\) in \(a\) übereinstimmen.

In dem Sonderfall, dass \(f\) in \(a\) stetig ist und rechts und links von \(a\) differenzierbar, dann reicht es aus zu zeigen, dass der rechts- und linksseitige Grenzwert von \(f'\) in \(a\) übereinstimmen.

Was das mit Deinem Beispiel zu tun hat ist unklar. Es gibt kein \(k\), so dass der Graph von \(f\) durch den Punkt \((2,2)\) läuft und \(f\) stetig ist.