Intervall eines Integrals abschätzen

Aufrufe: 504     Aktiv: 18.08.2020 um 19:38
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Ich habe die folgende Aufgabe vorliegen. Das gegebene Integral lässt sich über die kennengelernten Wege nicht lösen. Zumindest wüsste ich nicht wie, auch Wolfram Alpha führt zum selben Ergebnis. Nun soll ich aber das Intervall abschätzen, aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Vielleicht kann mir einer sagen wie ich vorgehen soll?

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Wenn man sich den Graphen anschaut, dann liegt der Betrag der Fläche zwischen 0 und 1, also bei ca 2/3. 

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Ja, nur kann ich mir in der Klausur keine Graphen plotten. Taschenrechner sind ebenfalls nicht zugelassen. Wie kommt man dann auf die Lösung?   ─   ocin.kr 18.08.2020 um 18:00
Ok, das ist ein Argument. Du könntest aber zB drei Werte einsetzen. 0, -0,5 und -1 und dann wüsstest du, wie der Graph dort verläuft und wüsstest , dass alle übrigen Antworten nicht in Betracht kommen können.   ─   markushasenb 18.08.2020 um 18:08
Das wäre ne Idee :)   ─   ocin.kr 18.08.2020 um 18:11
Ja, du siehst dann ja, dass der Graph das Segment +1| -1 in etwa zur Hälfte durchteilt . Ganz grob ...   ─   markushasenb 18.08.2020 um 18:17

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Zunächst ist unser \(f(x)\ge 0\), und damit ist auch das Integral \(\ge 0\). Auf unserem Intervall gilt \(-2\le  2x^3\le 0\), also \(e^{-2}\le f(x)\le 1\) und damit

\(\int\limits_{-1}^0 f(x)\, dx \le (0-(-1))\cdot 1 =1\). 

Analog ist das Integral auch \(\ge e^{-2}\).

Nachtrag aus Kommentar:

Es gilt allgemein, wenn \(m\le f(x)\le M\) auf \([a,b]\):
\(m\cdot (b-a)\le \int\limits_a^b f(x)\, dx\le M\cdot (b-a)\)

 

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Kannst du noch mal erläutern, wie du das Integral unten hergeleitet hast. Ich verstehe, dass die eine Grenze für das Integral 0 ist, damit wäre die Funktion 1. Einmal wäre diese e^-2. Und wie kommt man dann insgesamt darauf, welches Intervall richtig wäre?   ─   ocin.kr 18.08.2020 um 19:01

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