Dimensionen und symmetrsiche Matrizen

Aufrufe: 998     Aktiv: 04.01.2019 um 15:26
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Hallo, Aufgabe (i) habe ich bereits gemacht. Nur die (ii) ist mir etwas unklar. Die Dimension müsste doch unendlich sein? Wie notiere ich die gewünschten A1, A2, ...? Vielen Dank!
Uni
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Hallo,

die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Mächtigkeit vom Erzeugendensystem, und die ist hier endlich.

Als erste Überlegung könntest du dir eine allgemeine symmetrische Matrix aufstellen (exemplarisch an einer 3x3 Matrix), dann wird das leichter einzusehen.

Grüße,

h

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Du meinst vermutlich die Mächtigkeit der Basis.

Grüße Christian   ─   christian_strack 04.01.2019 um 17:15

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Hallo,

\( A_1 \) hat ein Basiselement. Nehmen wir die 1.

Eine symmetrische 2x2 Matrix hat die Form

\( \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Wir haben also 3 Basiselemente

3x3

\( \begin{pmatrix} a & b & c\\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} \)

Wir erhalten wieder für jede Variable einen Basisvektor, also wie viele Basiselemente?

Das ganze kannst du dir jetzt weiter überlegen. 4x4 Matrizen haben dann 16 Einträge. Wie viele davon sind auf der Hauptdiagonalen? Wie viele davon gibt es 2x, da sie gespiegelt werden?

Jetzt kannst du für die verschiedenen \( A_i \) eine Vorschrift aufstellen und damit für ein beliebiges n die Anzahl der Basiselemente bestimmen.

Vergiss nicht am Ende die Anzahl der Basiselemente zu addieren. 

Und wie Wirkungsquantum schon gesagt hat wirst du einen endlichen Wert erhalten. 

Grüße Christian

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Die nächste Basis hat also immer n-1 Elemente mehr? Welche Basiselemente soll ich addieren? Ich verstehe es irgendwie nicht.   ─   tisterfrimster 05.01.2019 um 11:27
Gib nicht direkt auf wir machen das Schritt für Schritt.

Wie kommst du auf n-1?

2x2 haben 3 und 3x3 haben 6 Basiselemente. 6-3=3, Das wäre also ein Unterschied von n.

Ich würde aber wie gesagt eher eine Vorschrift erstellen. Überlege dir folgendes mal als Formel

Eine nxn Matrix hat \( n^2 \) Einträge. Von diesen Einträgen wollen wir jetzt die abziehen die doppelt vorkommen.

Von den \( n^2 \) Einträgen sind wie viele auf der Hauptdiagonalen? Diese gibt es nur einmal. Wie viele bleiben dann noch? Von den übrigen müssen wir die Hälfte nehmen und das von unserem \( n^2 \) abziehen.

Mit dem addieren meine ich das zum Beispiel in U mit n=3, alle symmetrischen 1x1, 2x2 und 3x3 Matrizen sind. Deshalb brauchst du für die Basis von U die Basen \( A_1 , A_2 , A_3 \).

Ist n beliebig brauchen wir alle Basen bis \(A_n \). Aber lass uns erstmal versuchen die Vorschrift aufzustellen.   ─   christian_strack 05.01.2019 um 15:37

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Für U mit n=3  wäre es also die Dimension 10? Für n=4 wäre es es demnach 15? Insgesamt entspräche das ja dann 1+2+3+4+...+n+(n+1).
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Für n=4 wären es 20, da 4x4 Matrizen 10 Basiselemente besitzen. Lass das addieren erstmal beiseite. Fang damit an was ich dir gesagt habe. Versuch dir Vorschrift aufzustellen. Wie viele Einträge in einer nxn Matrix existieren doppelt?
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Ja, stimmt! Das hatte ich sogar selbst rausbekommen, ich habe nur die Zahlen durcheinander gebracht.

 

Demnach hätte eine nxn Matrix doch 1+...+n Basiselemente?   ─   tisterfrimster 06.01.2019 um 09:54
Ja schon aber in der Mathematik muss man das beweisen können. Und nur weil es bei den ersten den Anschein hat weiß man nicht genau ob es sich nicht doch mal ändert. Es ist hier zwar sehr wahrscheinlich das es sich nicht ändert aber versuch das mal mit der Vorschrift.

Wir haben \( n^2 \) Einträge und müssen wie viele abziehen? Wie viele Einträge gibt es doppelt?   ─   christian_strack 06.01.2019 um 17:48
Ich weiß nicht genau, was du mit der Vorschrift meinst. Wenn ich n² Einträge habe, muss ich die Anzahl der Einträge von An-1 abziehen, um die Anzahl der Basiselemente zu erhalten. Doppelt gibt es ebenfalls diese Anzahl der vorherigen Basisvektoren.   ─   tisterfrimster 06.01.2019 um 18:13
Nein vergiss einmal kurz alles andere.

Stell dir eine \( n \times n-Matrix \) vor. Diese Matrix hat \( n^2 \) Einträge. Da wir hier ja von einer symmetrischen Matrix sprechen gibt es bestimmte Einträge die doppelt vorkommen. Das sind genau diese für die gilt

\( \lambda_{ij} = \lambda_{ji} \) mit \( i \ne j \)

Wie viele sind das?

Sonst guck dir oben die 2x2 oder die 3x3 Matrix einmal an. Welche Buchstaben gibt es 2x?

Diesen Gedanken musst du nur schaffen mit n auszudrücken.

Mit Vorschrift meine ich sowas wie

\( n^2 - (n^4+3) \)

Das ist nur ein Beispiel und nicht die Lösung. Lass dich davon nicht verwirren. Aber wie dort musst du einen Ausdruck finden der in diese Klammer passt. Und dieser Ausdruck ist genau die Anzahl an doppelt vorkommenden Einträgen durch 2.

Grüße Christian

    ─   christian_strack 06.01.2019 um 19:00

Es gilt

\( \vert A_i \vert = \frac {i^2 + i} 2 \)

Also ist dann

\( dim_K(U)= \sum_{i=1}^n \frac {i^2 + i} 2 = \frac 1 2 (\sum_{i=1}^n i^2 + \sum_{i=1}^n i) = \frac 1 2 (\frac {n^2+n} 2 + \frac {2n^3+3n^2+n} 6) \\ \Rightarrow \frac {n^3+3n^2+2n} 6 \)

Grüße Christian

   ─   christian_strack 09.01.2019 um 02:46

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