Es  geht auch so: Lineares homogenes DGL-System
\( \dot{\vec y}=A\vec y\) mit \(A =\begin {pmatrix} 3&-2\\ 2 &-2 \end {pmatrix}\)
Eigenwerte : \(\lambda_1 =2, \lambda_2 =-1\)
Eigenvektoren :zu \( \lambda_1 : \begin {pmatrix} 2\\1  \end {pmatrix}\)zu \(\lambda_2: \begin {pmatrix} 1\\2 \end {pmatrix}\)
\(\vec y_h = a {2 \choose 1} e^{2x} +b {1 \choose 2}e^{-x}\)

Ich würde das System mittels Laplace-Transformation lösen. Siehe hierzu mein Video. Setze die Laplace-Transfomieren z.B. als F(s) und G(s) an, tranformiere in den Laplaceraum, berücksichtige die Anfangswerte und löse das lineare Gleichungssystem für die beiden Funktionen F un G. Schließlich zurücktransformieren.

Wie Du das System der Dgl löst, ist egal. Am besten so wie es in der Lehrveranstaltung erklärt worden ist. Man erhält dann \(y_1(t)=....,\) und \(y_2(t)=...\), wobei da noch Konstanten drin stehen (ist ja die allgemeine Lösung).

Zum Skizzieren: Man trägt \(y_1\) auf der x-Achse auf, und \(y_2\) auf der y-Achse. Also konkret: irgendwelche Konstanten wählen als Beispiel. Dann mit \(t=0\) anfangen, Punkt \((y_1(0),y_2(0))\) einzeichnen. Dann z.B. \(t=1\) und Punkt \((y_1(1),y_2(1))\) einzeichnen. Usw. Welche t's man wählt, muss man schauen. Wenn man die Punkte verbindet, soll es halt nach ner Kurve aussehen und nicht allzu eckig.

Dasselbe macht man dann noch für andere Konstanten, was ja eine ähnliche, aber andere Kurve gibt.

Beim Zeichnen merkt man schon, was da passiert. Einfach machen.