Also zunächst muss mal das unter der Wurzel mindestens Null sein, d.h. es muss

\(x^2\geq-\frac{a}{2}\) 

sein. Weiterhin muss noch die Ungleichung erfüllt sein. Wenn \(x\leq 0\) ist diese offensichtlich immer erfüllt. Unter der Annahme, dass \(x\geq 0\) lässt sich die Ungleichung umformen zu

\(x^2\geq -a\).

Wenn nun \(a\geq 0\) ist, so gilt dies offensichtlich für alle \(x\geq 0\) und auch die erste Ungleichung ist immer erfüllt. Dann ist die Ungleichung also für alle \(x\in\mathbb{R}\) gültig.

Falls nun \(a<0\), so muss \(x^2\geq -a\) bzw. \(|x|\geq\sqrt{-a}\) erfüllt sein, da dies die restriktivere Bedingung ist. Dann ist die Lösungsmenge also \(x\in(-\infty,-\sqrt{-a}]\cup [\sqrt{-a},\infty)\).

Zunächst einmal darf a ja nur negativ sein in Abhängigkeit von x . Für alle a >= 0 ist die Aussage unkritisch. 
Sobald a < 0 wird, ist die Aussage nur für bestimmte x gültig. 

Bei der Lösungsmenge geht es um die x, die das erfüllen. Und aufpassen beim Umformen: \(\sqrt{x^2}=|x|\) (wird häufig falsch gemacht). Lieber ein Blick in die Zeile vorher: \(-a \le x^2\). Also schonmal L=R für alle \(a\ge 0\). Für \(a<0\) haben wir \(\sqrt{-a} \le |x|\), also in diesem Fall \(L=(-\infty, -\sqrt{-a}] \cup [\sqrt{-a}, \infty)\).