So, dann haben wir also, dass \(G\) der Def-Bereich der rechten Seite der Dgl ist, also von \(f(x,y,y')=2\,y'-y\); dass \(x\) gar nicht vorkommt, ist kein Problem. Also zugelassen ist in der Dgl \(x\in R,\,y\in R,\, y'\in R\). Das heißt nicht, dass die gesuchte (erstmal unbekannte) Lösung der Dgl auf ganz R definiert ist. Das muss sie nicht sein, daher schreibt man erstmal \(y:I\longrightarrow R\), mit einem unbekannten Intervall \(I\). Der Bereich \(G=R\times R^2\) ist also erstmal gar nicht eingeschränkt, man kann sich den als \(R^3\) vorstellen und damit ist es ein unkomplizierter Bereich.

Ein Gebiet \(G\) ist eine offene zusammenhängende Menge. Zusammenhängend bedeutet genau das, was man sich drunter vorstellt: Man kann jeden Punkt von \(G\) mit jedem anderen Punkt in \(G\) mit einer stetigen Kurve verbinden, die \(G\) nicht verlässt. Z.B. ist \(M_1=B(0,1) \cup B(3,1)\), wobei \(B(0,1)\) offene Kugel um \(0\) mit Radius \(1\) ist, kein Gebiet, da man von der einen Kugel nicht in die andere gelangt. \(M_2=B(0,1) \cup \bar B(2,1)\) ( \(\bar B\) abgeschlossene Kugel) ist zwar zusammenhängend (Skizze zeigt das), aber nicht offen.

Viele Eigenschaften gelten nur auf Gebieten. Z.B. gibt es \(h:M_1\longrightarrow R\) mit \(h'(x)=0\) für alle \(x\in M_1\), trotzdem gibt es kein \(c\in R\) mit \(h(x)=c\) für alle \(x\in M_1\) (denn auf den beiden Teilkugeln können die Konstanten unterschiedlich sein).

Ich hoffe, dass die Begriffe nun klarer sind. Um die Dgl zu lösen, sind zunächst mal keine weiteren Überlegungen wg Gebiet nötig. Man sieht im Laufe des Rechenwegs, ob das ne Rolle spielt.

Das Gebiet ist einfach nur der Definitiosbereich auf dem die DGL definiert ist. In diesem Fall hängt die DGL von (y,y',y'') ab, weshalb das Gebiet durch RxR^2 gegeben ist.