Der Ansatz mit dem Restglied ist genau richtig. Es muss also \(|\frac{g^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}\,x^{n+1}| \le 10^{-6}\) sein, wobei \(x\in [0,0.1]\) und \(z\in [0,x]\), also beide in \([0,0.1]\). Es gilt \(\frac1{(1+z)^{n+1}}\le \frac1{(1+0)^{n+1}}=1\) (ein Bruch wird größer, wenn der Nenner kleiner wird). Weiter \(|x|^{n+1}\le 0.1^{n+1}\). Dann alles zusammenbringen und das lässt sich ganz prima nach \(n\) auflösen. Wenn's doch noch wo hakt, nachfragen bitte.

g kann in diesem Intervall exakt durch eine geometrische Reihe ausgedrückt werden, die genau die unendliche Variante deines Taylorpolynoms ist.

Die Betragsdifferenz der beiden ist also der Betrag der unendlichen Summe ab deinem gewählten n.

Dann solltest du dir überlegen wie du begründest, dass der Wert bei \( \frac{1}{10} \) am größten sein muss.

Und dann kannst du dir überlegen, dass wenn für einen Summanden gilt \( \vert (-1)^{n}(\frac{1}{10})^{n} \vert \leq 10^{-6} \), dass es dann auch für die Summe der Reihe ab diesem n gilt (kannst du mit den alternierende Vorzeichen und abnehmenden Beträgen der Summanden begründen).

Dann suchst du dir aus ab welchem n für den Summanden obiges gilt :)

Hoffe ich hab mich nicht vertan und gerne nochmal nachfragen!