Ich zeige dir mal, wie man bei \( M_1 \) vorgehen kann. Für \( M_2 \) kann man das dann analog machen.

Wir nehmen uns ein beliebiges \( p \in M_1 \).

Zunächst ist \(p\) von der Form \( p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).

Die Bedingung \( p(1)=0 \) führt zu \( a+b+c+d=0 \) und die Bedingung \( p(-1)=0 \) führt zu \( -a+b-c+d=0 \). Man kann sich überlegen, dass somit \( c=-a \) und \( d=-b \) sein müssen.

Das \(p\) lässt sich also schreiben als \( p(x)=ax^3+bx^2-ax-b = a(x^3-x)+b(x^2-1) \).

Man kann sich nun überlegen, dass \( x^3-x \) und \( x^2-1 \) in \( M_1 \) sind. Und wie wir oben gesehen haben, bilden diese Polynome ein Erzeugendensystem von \( M_1 \).

Außerdem sind \( x^3-x \) und \( x^2-1 \) auch linear unabhängig, denn aus \( \lambda_1 (x^3 - x) + \lambda_2 (x^2-1) = \lambda_1 x^3 + \lambda_2 x^2 - \lambda_1 x - \lambda_2 = 0 \) folgt mit dem Identitätssatz für Polynome sofort \( \lambda_1 = \lambda_2 = 0 \).

Und damit haben wir eine Basis von \( M_1 \) gefunden, nämlich \( B=(x^3-x, \ x^2-1) \).