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Mikn wurde bereits informiert.
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Hallo,
Ich komme nicht wirklich weiter bei Aufgabe 4b). Aufgabe ist ja zu entscheiden, ob G mit der definierten Verknüpfung wieder eine Gruppe ist. Bei a) ist meine Lösung, dass das der Fall ist, also G mit der Sternchen-Verknüpfung ist wieder Gruppe. Ich bin mir bei a) eigentlich sehr sicher, weil das finde ich auch fast offensichtlich ist. Ich würde deshalb vermuten, das bei b) Krone Gruppe vorliegt, aber irgendwie finde ich auch kein konkretes Gegenbeispiel.
Wäre lieb, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
LG Lars
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gefragt
mrchucuchucu
Student, Punkte: 68
Student, Punkte: 68
Das „die“ im Titel bitte wegdenken ;)
─
mrchucuchucu
31.12.2020 um 11:57
Hast du denn schon versucht über die Definition einer Gruppe die Eigenschaften zu zeigen, so dass es sich bei (a) um eine Gruppe handelt?
Wenn du denkst (b) bildet keine Gruppe, dann versuche dir doch ein Beispiel zu überlegen, so dass eine Eigenschaften von Gruppen verletzt wird.
Die Beweise für die Gruppeneigenschaften einfach mal aufschreiben, dann erkennt man schnell, ob es sich um eine Gruppe handelt bzw. welche Eigenschaft verletzt sein könnte. ─ maqu 31.12.2020 um 12:14
Wenn du denkst (b) bildet keine Gruppe, dann versuche dir doch ein Beispiel zu überlegen, so dass eine Eigenschaften von Gruppen verletzt wird.
Die Beweise für die Gruppeneigenschaften einfach mal aufschreiben, dann erkennt man schnell, ob es sich um eine Gruppe handelt bzw. welche Eigenschaft verletzt sein könnte. ─ maqu 31.12.2020 um 12:14
Ein Kollege von mir hat sich das gerade nochmal angeschaut. Er meint, dass es eine Gruppe ist und die Axiome folgend bewiesen (im Folgenden soll "#"die "Rauten"-Verknüpfung symbolisieren:
(G0) und (G1) sind leicht zu zeigen (möchte ich jetzt hier nicht nochmal aufschreiben).
(G2): Wähle \(e'=g^{-1} \), dann folgt \(x\# e'=x\#g^{-1}=x*g*g^{-1}=x*e=x\),
\(g^{-1}\) ist daher das rechtsneutrale Element. Analog zeigt man die Linksneutralität.
(G3): Es ist ein rechtsinverses Element h gesucht, sodass \(x\#h=g^{-1}\) erfüllt ist:
$$x#h=g^{-1} \rightarrow \x*g*h=g^{-1} \rightarrow x^{-1}*(x*g*h)=x^{-1}*g^{-1} \rightarrow (x^{-1}*x)*g*h=x^{-1}*g^{-1} \rightarrow e*g*h=x^{-1} *g^{-1} \rightarrow g*h=x^{-1} *g^{-1} \rightarrow g^{-1}*(g*h)=g^{-1}*(x^{-1} *g^{-1}) \rightarrow (g^{-1}*g)*h=g^{-1}*x^{-1} *g^{-1} \rightarrow e*h=g^{-1}*x^{-1} *g^{-1} \rightarrow h=g^{-1}*x^{-1} *g^{-1} $$
\(h=g^{-1} *x^{-1} * g^{-1} \) ist also das rechtsinverse Element. Analog zeigt man, dass das linksinverse Element identisch ist. Da jedoch ein eindeutiges rechtsneutrales Element und eindeutige rechtsinverse Elemente gefunden wurden, sind sie beidseitig neutral bzw. invers.
(G,#) ist also Gruppe
Das ist das erste Mal, dass ich hier eine Formel eingebe, ich hoffe da kommt was einigermaßen lesbares raus. ─ mrchucuchucu 31.12.2020 um 15:56
(G0) und (G1) sind leicht zu zeigen (möchte ich jetzt hier nicht nochmal aufschreiben).
(G2): Wähle \(e'=g^{-1} \), dann folgt \(x\# e'=x\#g^{-1}=x*g*g^{-1}=x*e=x\),
\(g^{-1}\) ist daher das rechtsneutrale Element. Analog zeigt man die Linksneutralität.
(G3): Es ist ein rechtsinverses Element h gesucht, sodass \(x\#h=g^{-1}\) erfüllt ist:
$$x#h=g^{-1} \rightarrow \x*g*h=g^{-1} \rightarrow x^{-1}*(x*g*h)=x^{-1}*g^{-1} \rightarrow (x^{-1}*x)*g*h=x^{-1}*g^{-1} \rightarrow e*g*h=x^{-1} *g^{-1} \rightarrow g*h=x^{-1} *g^{-1} \rightarrow g^{-1}*(g*h)=g^{-1}*(x^{-1} *g^{-1}) \rightarrow (g^{-1}*g)*h=g^{-1}*x^{-1} *g^{-1} \rightarrow e*h=g^{-1}*x^{-1} *g^{-1} \rightarrow h=g^{-1}*x^{-1} *g^{-1} $$
\(h=g^{-1} *x^{-1} * g^{-1} \) ist also das rechtsinverse Element. Analog zeigt man, dass das linksinverse Element identisch ist. Da jedoch ein eindeutiges rechtsneutrales Element und eindeutige rechtsinverse Elemente gefunden wurden, sind sie beidseitig neutral bzw. invers.
(G,#) ist also Gruppe
Das ist das erste Mal, dass ich hier eine Formel eingebe, ich hoffe da kommt was einigermaßen lesbares raus. ─ mrchucuchucu 31.12.2020 um 15:56
Falsch, du darfst hier nicht mit \(g^{-1}\) multiplizieren, sondern mit \(g\), siehe meinen Beweis unten. Das ist nämlich der causa knacksus an dieser Aufgabe, dass immer mit einer Konstanten \(g\) multipliziert wird (siehe meinen Beweis)
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anonym0165f
31.12.2020 um 16:07
Nein er darf nicht g invertieren für das Inverse Element, da es ein Konstanter Faktor ist der Verknüpfung ist
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anonym0165f
31.12.2020 um 16:18
es gibt es aber er darf es an der stelle nicht nehmen
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anonym0165f
31.12.2020 um 16:24
du hast recht, entschuldigung
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anonym0165f
31.12.2020 um 16:28
@mikn okay, dankeschön.
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mrchucuchucu
31.12.2020 um 16:31
Tatsächlich habe ich die Kommentare erst gelesen nachdem ich meine Antwort mühsam am Handy eingetippt habe :D ... ja die Lösung von deinem Freund sieht sehr gut aus .... ich wollte mit meiner Antwort nur klarstellen das es sich bei (b) nicht um eine Gruppe handelt, wo @anonym doch erst was anderes behauptet hatte
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maqu
31.12.2020 um 16:34
eben :D
─ mrchucuchucu 31.12.2020 um 16:36
─ mrchucuchucu 31.12.2020 um 16:36
Ich hatte zuerst recht und dann meine antwort gelöscht und gesagt es ist keine gruppe....
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anonym0165f
31.12.2020 um 16:37
Ja habe ich dann auch gemerkt als ich die Kommentare gelesen hatte :D .... naja entschuldige @LarsHeinrich >.<
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maqu
31.12.2020 um 16:38
Kein Problem, danke dir. Ich hätte aufgrund der Aufgabenstellung eigentlich auch gedacht, dass es sich bei a) oder b) nicht um eine Gruppe handelt, aber anscheinend sind doch beides Gruppen.
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mrchucuchucu
31.12.2020 um 16:40
Genau! Das war mein erstes Mal, dass ich hier eine Frage gestellt und es klappt ja tatsächlich erstaunlich gut. Danke an alle nochmal.
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mrchucuchucu
31.12.2020 um 16:50