Ich setze mal voraus, dass die Abb. \(\det: K^{d\times d} \longrightarrow R\) stetig ist (offensichtlich hängt sie stetig von den Matrixelementen ab).

Zu a): Bei stetigen Funktionen sind die Urbildmengen offener Mengen wieder offen, hier:

\(GL(d,K) = \det^{-1}(R\setminus \{0\})\) und  \(R\setminus \{0\}\) ist ja offen in R.

Zu b): Die Inverse kann über Quotienten von (Unter-)Determinanten ausgedrückt werden. Da \(\det\) stetig ist, ist die Inverse als Komposition stetiger Funktionen auch stetig.

U.U  muss man nun nur noch nachweisen, dass \(\det\) stetig ist, dazu braucht man dann schon die Angabe einer Metrik oder Norm auf \(K^{d\times d}\), sollte aber kein Problem darstellen.