Im Endeffekt genau umgekehrt.

In diesem Fall bietet sich Integration durch Substitution an.

\(H(x)=\int\limits_{0}^{l}h_0\cdot \left(1+\frac xL\right)^2~\text{d}x\)

Nun substituierst du wie folgt:

\(u(x)=1+\frac xL\)

Leitest \(u(x)\) einmal ab:

\(\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{1}{L}\Rightarrow \text{d}x=L\cdot \text{d}u\)

Jetzt setzt du alles in dein ursprüngliche Integral ein (Achtung die Grenzen verändern sich durch die Substitution)

\(H(u)=h_0\cdot\int\limits_{u(0)}^{u(l)}u^2\cdot L~\text{d}u=L\cdot\int\limits_{u(0)}^{u(l)}u^2~\text{d}u=\frac{L}{3}\cdot u^3\Big|_{u(0)}^{u(l)}\)

Nun nur noch rücksubstituieren und du erhälst folgenden Ausdruck:

\(H(x)=h_0\cdot\frac{L}{3}\cdot\left(1+\frac{x}{L}\right)^3\Big|_{0}^l\)

Jetzt noch die Grenzen einsetzten und du bist fertig.

Zur Kontrolle kannst du diesen Term jetzt auch gern nochmal ableiten und erhälst wieder \(h(x)\)