Hilfe vollständige Induktion

Aufrufe: 735     Aktiv: 24.12.2020 um 18:22
0

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass 2^(n+1) für alle n ∈ N ein Teiler von (32^n) − 1 ist.

Hinweis: Vollständige Induktion und dritte binomische Formel.


Problem/Ansatz:

Ich hab den Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung, dass es eine natürliche Zahl geben muss, sodass (32^n) -1 = m * 2^(n+1) mit m ∈ N.

Dann hab ich den Induktionsschritt, aus n wird n+1 und zu zeigen ist, dass (32^(n+1)) - 1 = m' * 2^(n+2) mit m' ∈ N. Links ist aus n einfach n+1 geworden und rechts ist aus der Potenz (n+1) die Potenz (n+2) geworden.

So, jetzt hab ich die linke Seite so umgeformt:

(32^(n+1)) - 1 = (3^(2*2n)) - 1 = ((32n)2) - 12, damit ich dann mit der 3. binom. Formel komme auf:

((32n)-1) * ((32n)+1)     die erste Klammer ist genau meine Ind.voraussetzung, somit

(m * 2^(n+1)) * ((32n)+1)

Jetzt ist mein Problem, dass ich ja zeigen muss, dass die linke Seite, also das, womit ich angefangen hab, gleich .... (irgendwas) multipliziert mit 2^(n+2) ist. Ich habe aber nirgends eine n+2 in der Potenz, sondern nur n+1.

 

Kann mir da jemand weiterhelfen?

 

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 260

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

\(3^{2n}\) muss ungerade sein (warum?), dann ist die rechte Klammer gerade. Diese kannst du dann schreiben als \(2k\) und bekommst da deinen weiteren Faktor \(2\). 

Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Stimmt. Damit sind beide Klammern gerade. Aber ich muss die linke Klammer (im Bild die vorletzte Zeile) ja mit der Ind.vss umschreiben zu m * 2^(n+1).
Ich sehe also nicht, wie ich von meiner letzten Zeile dazu komme, dass 2^(n+2) mit irgendwas multipliziert wird, weil ich das brauche, um zu zeigen, dass der Term ein Vielfaches davon ist.   ─   akimboslice 19.12.2020 um 17:47
Danke, stand auf dem Schlauch. Bin mir nicht sicher, passt das dann so? Ist ein gehostetes Online-Bild von meinem Block, das sich in 2 Stunden wieder löscht https://ibb.co/xjfxv6x   ─   akimboslice 19.12.2020 um 17:59
Klar doch, ist gemacht. Vielen Dank nochmal.   ─   akimboslice 24.12.2020 um 18:22

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.