Hi, leider kann ich deine Rechnungen nicht zu 100% nachvollziehen, aber es sieht vieles richtig aus! :)

Du fängst richtig mit der allgemeinen Funktionsgleichung \(f(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e\) an und bildest richtig die erste Ableitung: \(f'(x)=4a*x^3+3b*x^2+2c*x+d\). 

Nun reicht es, wenn du nur 5 Bedingungen an \(f(x)\) stellst, da wir nur 5 Variablen haben.

Ich würde mit folgenden Bedingungen arbeiten:

\(f(-1)=0  \Rightarrow 0=a*(-1)^4+b*(-1)^3+c*(-1)^2+d*(-1)+e=a-b+c-d+e\)

\(f(0)=-3 \Rightarrow -3=a+0^4+b*0^3+c*0^2+d*0+e=e\)

\(f(3)=0 \Rightarrow 0=a*3^4+b*3^3+c*3^2+d*3+e=81a+27b+9c+3d+e\)

\(f'(0)=0\Rightarrow 0=4a*0^3+3b*0^2+2c*0+d=d\)

\(f'(3)=0\Rightarrow 0=4a*3^3+3b*3^2+2c*3+d=108a+27b+6c+d\)

Unser Gleichungssystem sieht also wie folgt aus:

\(1. \ 0=a-b+c-d+e \)

\(2. \ -3=e \)

\(3. \ 0=81a+27b+9c+3d+e \)

\(4. \ 0=d \)

\(5. \ 0=108a+27b+6c+d \)

Setzen wir \(d\) und \(e\) in die Gleichungen ein, so erhalten wir:

\(3=a-b+c\)

\(3=81a+27b+9c \ \ \Leftrightarrow \)   \(1=27a+9b+3c\)

\(0=108a+27b+6c \ \ \Leftrightarrow\)   \(0=36a+9b+2c\)

An dieser Stelle kannst du nun das Gauß- Verfahren verwenden:

1. \(3=a-b+c\)

2. \(1=27a+9b+3c\)

3. \(0=36a+9b+2c\)

Subtrahiere die dritte Gleichung von der zweiten:

1. \(3=a-b+c\)

2. \(1=-9a+c\)

3. \(0=36a+9b+2c\)

Addiere das 9-fache der ersten Gleichung zu der dritten:

1. \(3=a-b+c\)

2. \(1=-9a+c\)

3. \(27=45a+11c\)

Subtrahiere das 11-fache der zweiten Gleichung von der dritten:

1. \(3=a-b+c\)

2. \(1=-9a+c\)

3. \(16=144a\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a=\frac{1}{9}\)

Mit der zweiten Gleichung erhalten wir:

\(1=-9*\frac{1}{9}+c\)   \(\Leftrightarrow\)  \(2=c\)

Mit der ersten Gleichung erhalten wir: 

1. \(3=\frac{1}{9}-b+2\)  \(\Leftrightarrow\)  \(-\frac{8}{9}=b\).

Die Funktion lautet also: \(f(x)=\frac{1}{9}x^4-\frac{8}{9}x^3+2x^2-3 \)

Liebe Grüße :)