Wie begründet man die Parabel Formel von Archimedes?

Erste Frage Aufrufe: 1749     Aktiv: 17.11.2020 um 16:38
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Hallo!

Wir sollen die Aufgabe 16 erledigen, doch leider hab ich keine Ahnung wie ich das machen soll. Im Internet finde ich stets die Formel mit 4/3, aber hier in der Aufgabenstellung steht ja 2/3. 

LG

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Schüler, Punkte: 19

 
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Hey Sophie,

mittels Integrieren findet man tatsächlich einen Beweis für das dort beschriebene Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt und des Produktes.

Es gilt also:

\( \int_{-x_n}^{x_n} f(x) \; dx = k \cdot g \cdot h \)

Du integrierst also eine Parabel, die nach oben verschoben wurde und setzt das gleich dem Produkt aus \( g \) und \( h \). \( k \) ist dabei der Verhältnisfaktor, von dem wir später zeigen wollen, dass er \( k = \frac{2}{3} \) ist. Für die allgemeine Formel einer Parabel nehmen wir an: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Wenn man das alles mal etwas anders schreibt, dann bekommt man folgenden Zusammenhang:

\( 2 \cdot \int_0^{x_n} - a \cdot x^2 + c \; dx = k \cdot (2 x_n \cdot c) \)

Hier kannst du dir zunächst erstmal überlegen, wie man auf diese Aussage kommt, \( x_n \) bezeichnet dabei die Nullstelle der Funktion auf der positiven \( x \) - Achse.

Jetzt kann man das Integral auf der linken Seite berechnen.

Anschließend kann man noch für die Parabel die Nullstelle  \( x_n \) berechnen. Und wenn du diesen Zusammenhang dann einsetzt, bekommst du eine Gleichung mit der du das entsprechende \( k \) berechnen kannst.

Du kannst es ja gern mal probieren. Wenn noch Fragen bleiben, dann meld dich hier einfach nochmal!

VG
Stefan

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M.Sc., Punkte: 6.68K

 
Vielen Dank für die schnelle Antwort, war sehr hilfreich. Könntest du vielleicht noch erklären, was die Grundüberlegung bei der b ist ?
LG   ─   sophie.gutmann 17.11.2020 um 16:15
Gerngeschehen! Bei (b) habe ich jetzt nicht ad-hoc eine elegante Lösung. Auch hier musst du es wieder in 2 Teile aufteilen. Zum einen durch Integrieren auf den Parabelabschnitt zu kommen. Hier musst du bedenken, dass du den Flächeninhalt zwischen 2 Graphen bestimmst. Also musst du irgendwie eine lineare Funktion zwischen den beiden Punkten \( P_1 \) und \( P_2 \) aufstellen und mit dieser linearen Funktion und der Parabel kannst du dann den Flächeninhalt des Parabelabschnittes durch die Differenz der beiden Flächen berechnen.

Etwas unsicherer bin ich beim Parallelogramm. Da könnte man versuchen über den Anstieg der Gerade zwischen \( P_1 \) und \(P_2 \) den Punkt \( D \) zu berechnen. \( D \) muss also der Punkt auf der Parabel sein, wo der Anstieg gleich dem Anstieg der Gerade zwischen \( P_1 \) und \( P_2 \) ist, das kannst du dann über die Ableitung bestimmen. Wenn du \( D \) hast, kannst du den Abstand von \( D \) mit der Gerade berechnen und hast damit die Höhe des Parallelogramms. Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet sich ja durch Grundseite mal Höhe.

Wie gesagt, das sind keine ausgereiften Gedanken und ich weiß nicht ob es nicht einen schnelleren oder eleganteren Weg gibt. Aber so würde ich es wohl erstmal probieren.   ─   el_stefano 17.11.2020 um 16:38

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Hallo ist eine Erklärung 

Gruß 

Elayachi Ghellam 

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Elektrotechnik Ingenieur, Punkte: 1.49K

 
Hey Elayachi,

so elegant wie deine Lösung hier auch formuliert und präsentiert ist, wollen wir auf dieser Plattform eigentlich nicht, dass einfach mundgerechte Lösungen präsentiert werden, die der Fragensteller 1:1 so übernehmen kann und vielleicht die Problematik versteht, aber nicht ein tiefgründigeres Verständnis für die Thematik entwickelt. Das du die Lösung bestimmen kannst, glauben wir dir gern und die Qualität deiner Antwort spricht für dich! Trotzdem würde ich dich bitten, vielleicht nochmal in die Plattform Guidelines zu gucken, was wir mit Hilfestellungen auf dieser Plattform meinen.

Viele Grüße!   ─   el_stefano 17.11.2020 um 13:26
Hallo el_stefano
Danke schön für deinen Hinweis
Ich habe aber eine andere Sichtweise, was die Hilfestellung im Bereich der Mathematik angeht.
Die Methode von Sokrates ( Lehren durch gezielte Fargen ) , die hier meistens benutzt wird, ist nicht immer optimal für den Fragesteller, sie sorgt manchmal für mehr Verwirrung.
Die Präsentierung einer Lösung mit Erklärung ist meiner Meinung nach viel besser, dadurch wird das AHA Effekt bei dem Fragesteller entstehen.
Das Risiko, dass die Lösung 1 zu1 übernommen wird sehe ich nicht als kritisch, da ein Schüler, der sich die Mühe gemacht hat, seine Fragen hier zu stellen, der will schon lernen und verstehen und fast jeder weiss, dass nur abschreiben nicht viel hilft.
Zum Schluss ein Satz über mich:
Ich weiß ganz genau was ich kann und was ich nicht kann, da brauche ich von niemanden eine Bewertung, viel wichtiger für mich ist es, den Leuten zu helfen, wenn ich die Möglichkeit habe.
Danke und Gruß
Elayachi Ghellam   ─   elayachi_ghellam 17.11.2020 um 14:21
Sehe ich absolut nicht so, weil es in meinen Augen (und es hat sich durch langjährige Erfahrungen in Tutorien auch erwiesen) einen riesigen Unterschied macht, ob man eine Lösung nur nachvollzieht und sich dann mit "darauf wäre ich auch gekommen" zum Teil selbst belügt, oder ob man durch gewisse Anstöße selber zur Lösung kommt.

Der Aha Effekt ist definitiv da, das möchte ich gar nicht bestreiten. Aber wenn es wirklich effektiver wäre, bräuchten die Lehrer ja selber nur noch aktiv vorrechnen, ohne dass Schüler etwas selbtständig machen. Die eigenen Gedanken fördern allerdings auch sich noch tiefgründiger mit der Thematik zu beschäftigen und ich denke das ist der Ansatz, den diese Plattform verfolgt. Wir wollen eben keine reine Lösungsplattform sein. Wir wollen die Schüler/Studenten bei Verständnisproblemen darüber aufklären und Ihnen bei Schwierigkeiten helfen, jedoch ihnen nicht die erforderliche Arbeit abnehmen.

Ich denke das perfekte Beispiel (auch wenn hier nicht wirklich zutreffend) sind doch mathematische Beweise. Es sind 2 völlig unterschiedliche Dinge, ob ich den Beweis in der Vorlesung vom Professor vorgerechnet bekomme, oder ob ich mich selber mit den Definitionen und Sätzen auseinandersetze, um selber auf den Beweis zu kommen.

Ich möchte hier auch kein Streitgespräch losbrechen, im Endeffekt sind wir froh über jeden Helfer und natürlich hat jeder seinen individuellen Ansatz. Aber als Moderator und somit Vertreter der Plattform setze ich mich eben für die Durchsetzung bestimmter Sachen ein, die wir im Kodex als zielführend formuliert haben.   ─   el_stefano 17.11.2020 um 14:48
Alles klar.
Danke und Gruß   ─   elayachi_ghellam 17.11.2020 um 15:32
Mir ist es an der Stelle noch einmal wichtig, zu erwähnen, dass ich es schade fände, wenn elayachi hier seine bereichernden Lösungen nicht mehr anböte. Seine Beiträge bereiten regelrecht Freude beim Lesen! Neben den Kodex- Richtlinien, die ja Konsens sind, halte ich diesen Aspekt auch für die wichtig und erwähnenswert!   ─   markushasenb 17.11.2020 um 16:04
Vielen Dank für deine Antwort/ Lösung. Hat mir in der Kombination mit der 1. Antwort viel geholfen :)
LG   ─   sophie.gutmann 17.11.2020 um 16:19

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