Question

Lineare Abbildungen und Matrizen Bestimmen

Aufrufe: 719 Aktiv: 05.06.2020 um 10:59

0

Hallo! Ich habe folgende Übungsaufgabe bekommen und habe ein paar Fragen.

Zum ersten Punkt: Was genau heißt hier bestimmen? Ich verstehe nicht was dieser Pfeil bedeuten soll.

Zum zweiten Punkt: Selbsterklärend, sofern ich herausfinde was A ist.

Letzter Punkt: Verstehe ich leider gar nicht.

Vielen Dank schon im Vorraus für die Hilfe!

Teilen Diese Frage melden

gefragt 02.06.2020 um 16:09

lisa711
Student, Punkte: 27

Kommentar schreiben

1 Antwort

christian_strack · Accepted Answer · 2020-06-02T16:38:09Z

1

Hallo,

der Pfeil steht für eine Zuordnung. Jedem Vektor $ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ wird durch die Abbildung $ f_A $ der Vektor $ \begin{pmatrix} x+y \\ -x \\ 0 \\ x-y \end{pmatrix} $ zugeordnet.

Man könnte auch schreiben

$$ f_A(x,y) = \begin{pmatrix} x+y \\ -x \\ 0 \\ x-y \end{pmatrix} $$

Nun kann jede lineare Abbildung durch eine Abbildungsmatrix dargestellt werden. Diese Abbildungsmatrix sollst du hier finden. Also sollts du die Matrix $ A $ finden, für die gilt

$$ A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ -x \\ 0 \\ x-y \end{pmatrix} $$

Fangen wir erstmal damit an, was für eine Matrix das sein muss. Wie viele Zeilen und wie viele Spalten muss diese haben?

Die Matrixmultiplikation $ CBA $ ergibt eine neue Matrix. Diese Matrix kann nun wieder als lineare Abbildung aufgefasst werden. Nun kannst du diese Matrix mit einem allgemeinen Vektor

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $$

multiplizieren und erhälst dann einen Vektor wie in der a), also

$$ \begin{pmatrix} x+y \\ -x \\ 0 \\ x-y \end{pmatrix} $$

Überlege dir zuerst aus welchem Vektorraum $ \vec{x} $ ist. Dann mutlipliziere diesen einfach mit der Matrix aus b) und schreibe den Zusammenhang zwischen den beiden Vektoren mit dem Pfeil der auch in der a) steht.

Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian

Teilen Diese Antwort melden Link

geantwortet 02.06.2020 um 16:38

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

Hallo Christian! Vielen Dank für deine Nachricht!

Also zu Punkt 1: Super, so ist es verständlich (denke ich)

Also A wäre eine 4, 2 Matrix (4 Reihen, 2 Spalten), da wir ja R^2 --> R^4 haben

(Jetzt muss ich es ein bisschen umständlich tippen, ich hoffe man verstehts)

A =

1 1
-1 0
0 0
1 -1

habe es auch nochmal mit f(0, 1) und f(1, 0) überprüft (Einheitsmatrix, wenn das so heißt?) und es kommt das selbe raus.

Stimmt das so? ─ lisa711 03.06.2020 um 11:24

Passt ─ scotchwhisky 03.06.2020 um 11:29

Ich glaube du meinst Standardbasisvektor? :)
Aber ja ist alles richtig :) ─ christian_strack 03.06.2020 um 11:49

Danke! Ja genau das meinte ich :)

beim zweiten Punkt bekomme ich ABC =

4 -8
-18 -12
0 0
32 32

Beim 3. Punkt weiß ich leider nicht wirklich was ich mit dem allgemeinen Vektor anfangen soll... Wäre der im Vektorraum 2? ─ lisa711 03.06.2020 um 17:41

Leider nicht ganz. Also es ist richtig, dass
$$ ABC = \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ -18 & -12 \\ 0 & 0 \\ 32 & 32 \end{pmatrix} $$
aber es ist nach der Matrix $ CBA $ gefragt. Bedenke dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Es gilt also im allgemeinen
$$ M \cdot N \neq N \cdot M $$
Also müsstest du die Multiplikation nochmal neu berechnen. Aber als Übung kann das nie schaden :p

Zum dritten Punkt ein kleiner Exkurs:
Wir erinnern uns an Funktionen aus Analysis. Eine Funktion ist in erster Linie eine Zuordnung. Und zwar ordnet eine Funktion ein Element aus einer Definitionsmenge genau einem Element aus einer Zielmenge zu.
Beispielsweise nehmen wir die Zurodnung die jedem Element den doppelte Wert zuordnet.
$$ f(x) = 2x $$
Es existieren jetzt noch andere Darstellungen. Die Darstellung mit dem $ f(x) $ nutzt man eigentlich nur, wenn klar was was Definitionsmenge und Zielmenge sind. Ansonsten würden wir das folgendermaßen schreiben
$$ \begin{array}{c} f: D \to Z \\x \mapsto f(x) \end{array} $$
Die erste Zeile beschreibt von welcher Definitionsmenge (hier $ D $) in welche Zielmenge (hier $ Z $) abgebildet wird.
Die zweite beschreibt die Art der Zuordnung. Wir kenne die Art er Zuordnung meistens in Gleichungsfform ( $ f(x) = 2x $).
Die obige Funktion sähe also anders dargestellt so aus:
$$ \begin{array}{c} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ x \mapsto 2x \end{array} $$

So nun wieder zurück zur Aufgabe. Eine Abbildung ist eigentlich nur ein andere Name für eine Funktion. Wir haben also wieder eine Art von Zuordnung. Dieses mal wird nicht eine Zahl einer anderen Zahl zugeordnet, sondern einem Vektor einen anderen Vektor.
Gucken wir uns nochmal Punkt 1 an. Dort steht
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x+y \\ -x \\ 0 \\x-y \end{pmatrix} $$
Für gegebenes $ x $ und $ y $ erhalten wir also einen eindeutig zugeordneten Vektor. Wir könnten das auch anders schreiben:
$$ f(x,y) = (x+y,-x,0,x-y) $$
Wir können bei linearen Abbildung sogar noch eine weitere Darstellungsmöglichkeit nutzen und zwar über die Matrix wie wir es im ersten Punkt getan haben, denn es gilt
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ -x \\ 0 \\ x-y \end{pmatrix} $$

Und das ist im Prinzip hier deine Aufgabe. Du sollst zwischen diesen Darstellung switchen. Im Punkt 1 bist du von der Grundlegenden Darstellung einer Funktion ( mit $ \mapsto $) in die Matrixdarstellung gewechselt und nun wechselst du von der Matrixdarstellung in die mit $ \mapsto $.
Die Frage ist nun, wie sieht ein allgemeiner Vektor $ \vec{x} $ aus, wenn wir diesen auf unsere Abbildung loslassen?
Du hast schon recht das unser Vektor in $ \mathbb{R} ^2 $ startet. (sowohl für $ ABC $ als auch für $ CBA $).
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto ? $$
Kannst du das Fragezeichen ausfüllen? :)

Leider nicht ganz. Also es ist richtig, dass
$$ ABC = \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ -18 & -12 \\ 0 & 0 \\ 32 & 32 \end{pmatrix} $$
aber es ist nach der Matrix $ CBA $ gefragt. Bedenke dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Es gilt also im allgemeinen
$$ M \cdot N \neq N \cdot M $$
Also müsstest du die Multiplikation nochmal neu berechnen. Aber als Übung kann das nie schaden :p

Zum dritten Punkt ein kleiner Exkurs:
Wir erinnern uns an Funktionen aus Analysis. Eine Funktion ist in erster Linie eine Zuordnung. Und zwar ordnet eine Funktion ein Element aus einer Definitionsmenge genau einem Element aus einer Zielmenge zu. 
Beispielsweise nehmen wir die Zurodnung die jedem Element den doppelte Wert zuordnet.
$$ f(x) = 2x $$
Es existieren jetzt noch andere Darstellungen. Die Darstellung mit dem $ f(x) $ nutzt man eigentlich nur, wenn klar was was Definitionsmenge und Zielmenge sind. Ansonsten würden wir das folgendermaßen schreiben
$$ \begin{array}{c} f: D \to Z \\x \mapsto f(x) \end{array} $$
Die erste Zeile beschreibt von welcher Definitionsmenge (hier $ D $) in welche Zielmenge (hier $ Z $) abgebildet wird. 
Die zweite beschreibt die Art der Zuordnung. Wir kenne die Art er Zuordnung meistens in Gleichungsfform ( $ f(x) = 2x $).
Die obige Funktion sähe also anders dargestellt so aus:
$$ \begin{array}{c} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ x \mapsto 2x \end{array} $$

So nun wieder zurück zur Aufgabe. Eine Abbildung ist eigentlich nur ein andere Name für eine Funktion. Wir haben also wieder eine Art von Zuordnung. Dieses mal wird nicht eine Zahl einer anderen Zahl zugeordnet, sondern einem Vektor einen anderen Vektor.
Gucken wir uns nochmal Punkt 1 an. Dort steht
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x+y \\ -x \\ 0 \\x-y \end{pmatrix} $$
Für gegebenes $ x $ und $ y $ erhalten wir also einen eindeutig zugeordneten Vektor. Wir könnten das auch anders schreiben:
$$ f(x,y) = (x+y,-x,0,x-y) $$
Wir können bei linearen Abbildung sogar noch eine weitere Darstellungsmöglichkeit nutzen und zwar über die Matrix wie wir es im ersten Punkt getan haben, denn es gilt
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ -x \\ 0 \\ x-y \end{pmatrix} $$

Und das ist im Prinzip hier deine Aufgabe. Du sollst zwischen diesen Darstellung switchen. Im Punkt 1 bist du von der Grundlegenden Darstellung einer Funktion ( mit $ \mapsto $) in die Matrixdarstellung gewechselt und nun wechselst du von der Matrixdarstellung in die mit $ \mapsto $. 
Die Frage ist nun, wie sieht ein allgemeiner Vektor $ \vec{x} $ aus, wenn wir diesen auf unsere Abbildung loslassen?
Du hast schon recht das unser Vektor in $ \mathbb{R} ^2 $ startet. (sowohl für $ ABC $ als auch für $ CBA $).
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto ? $$
Kannst du das Fragezeichen ausfüllen? :)

─ christian_strack 03.06.2020 um 19:15

Ahhh genau!! Das Matrizen nich kommutativ sind habe ich in dem moment total verplant.

Vielen lieben Dank für die genaue Erklärung!! Das hat auf jeden Fall sehr viel Klarheit geschafft!

CBA =

-10 -10
32 -2
24 -4
6 4

Was genau bei 3 zu tun wäre ist mir noch ein wenig unklar.
Wäre die Abbildung dann

fCBA : R2 --> R4 : (x,y) |---->

-10x-10y
32x-2y
24x-4y
6x+4y

Das wäre ja schon fast zu einfach, oder?

─ lisa711 04.06.2020 um 15:36

1

Alles richtig :)
es gilt
$$ CBA = \begin{pmatrix} -10 & -10 \\ 32 & -2 \\ 24 & -4 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} $$
und somit haben wir die lineare Abbildung
$$ \begin{array}{c} CBA \cdot \vec{x} = \vec{y} \\ \Rightarrow \begin{pmatrix} -10 & -10 \\ 32 & -2 \\ 24 & -4 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10x -10y \\ 32x -2 y \\ 24x -4 y \\ 6x +4y \end{pmatrix} \end{array} $$
Und das können wir nun auch mit $ \mapsto $ darstellen und somit haben wir
$$ \begin{array}{c} CBA : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^4 \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -10x-10y \\ 32x -2y \\ 24x -4y \\ 6x +4y \end{pmatrix} \end{array} $$

Also alles richtig :) Wenn man es versteht wirkt es auch nicht mehr so schwer :p
Sehr gut gemacht! ─ christian_strack 04.06.2020 um 16:50

Ich kann dir nicht genug danken!!! Das freut mich total :) Das war mir eine riesen Hilfe!

Schönen Abend noch! ─ lisa711 04.06.2020 um 19:43

Sehr gerne. Freut mich sehr zu hören :)
─ christian_strack 05.06.2020 um 10:59

Kommentar schreiben