Wie komme ich auf die Lösung der Reihe?

Aufrufe: 626     Aktiv: 13.10.2020 um 14:12
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Hallo!

 

Gegeben ist eine Summe Startwert ist 3 und Endwert ist 10. Es ist die Summe aus 5^2k.

Die Lösung hat unsere Professorin auch angegeben. Nämlich (5^22-5^6)/24.

Der Nenner ist klar. Aber ich verstehe die Lösung des Zählers nicht.

 

Wenn wir von der Summe x^k die Lösung ansehe, dann ist das ja (x^n+1 - 1)/ x-1

Aber trotzdem komme ich nicht drauf, stehe auf dem Schlauch. Wäre nett, wenn mir dabei jemand eine ausführliche Erklärung schreibt! Danke :)

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Student, Punkte: 54

 
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Die Formel \(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\) mit \(x=5^2\) liefert ja den Wert der Summe von 0 bis n. Hier geht's erst ab 3 los, d.h. von diesem Wert muss dann noch der Teil von 0 bis 2 einschließlich subtrahiert werden, also haben wir: \(\frac{5^{22}-1}{24}-1-5^2-5^4\). Wenn Du das auf einen Bruch bringst und dann schön die Potenzen von 5 rausziehst, kommst Du genau auf das gewünschte Ergebnis.

Probier mal. Wenn's nicht klappt, melde Dich nochmal.

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Hey,

ich denke die offensichtlichere Lösung ist hier die Indexverschiebung ( \( k = i + 3 \) ):

\( \sum_{k=3}^{10} 5^{2k} = \sum_{i=0}^{7} 5^{2(i+3)} = 5^6 \cdot \sum_{i=0}^{7} 5^{2i} \)

Darauf kannst du jetzt deine Formel anwenden und bekommst:

\( 5^6 \cdot (\frac{5^{16} - 1}{24}) \)

Jetzt noch ausmultiplizieren und du kommst auf das entsprechende Ergebnis.

Ich hoffe das hilft weiter!

VG
Stefan

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