Zunächst schreiben wir die Folgenterme um, damit die Rechnung ein wenig einfacher wird:
$$a_n=\frac{4n^2+1}{2n^2+2}=\frac{(4n^2+4)-3}{2n^2+2}=\frac{4n^2+4}{2n^2+2}-\frac3{2n^2+2}=2-\frac3{2n^2+2}.$$
Für \(n>m\in\mathbb N\) gilt dann $$a_n-a_m=\frac3{2m^2+2}-\frac3{2n^2+2}=\frac32\left(\frac{n^2-m^2}{(m^2+1)(n^2+1)}\right).$$ Jetzt wollen wir diesen Ausdruck nach oben abschätzen, deshalb machen wir den Zähler größer und den Nenner kleiner: $$a_n-a_m\leq\frac32\cdot\frac{n^2}{m^2n^2}=\frac3{2m^2}.$$
Für jedes \(\varepsilon>0\) lässt sich ein \(N\in\mathbb N\) finden mit \(2N^2\varepsilon>3\), z.B. \(N=\lfloor\sqrt{\frac{3}{2\varepsilon}}+1\rfloor\). Dann gilt für alle \(n>m\geq N\), dass $$a_n-a_m\leq\frac3{2m^2}\leq\frac3{2N^2}<\varepsilon.$$
Damit ist gezeigt, dass die Folge Cauchy ist.
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Das hat mir weitergeholfen, ich finde es irgendwie bisher nicht sehr intuitiv und komme nicht auf solche Schritte für umformungen. Aber wenn man es so sieht ist es auf einmal plausibel 😅 ─ awivo 08.12.2020 um 11:17