Wenn ich es recht verstehe, geht es um den Def-Bereich der Ableitung. \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\) hat einen Def-Bereich, der ist R ohne die Nullstellen von \(q\).

Daher kann die Ableitung auch nur dort gebildet werden. Deine Frage zielt aber - so verstehe ich es - darauf, ob nun der Def-Bereich der Ableitung ein anderer als der von \(f\) sein könnte. Er könnte ja vielleicht kleiner werden.

Die Ableitung hat aber (Quotientenregel!) im Nenner \((q(x))^2\). Und das hat ja die gleichen Nullstellen wie \(q\). Es kommen also beim Ableiten keine weiteren Definitionslücken hinzu - es bleibt bei den von \(f\) selbst herrührenden Definitionslücken.

So ganz verständlich ist die Frage nicht. Einen Definitionsbereich bildet man ja nicht, sondern man bestimmt ihn. bei gebrochenrationalen Funktionen sind die alle x außer die Nullstellen die Nenners. Natürlich ist dann die Ableitung auch nur im Definitionsbereich der Funktion definiert. Vielleicht schaust Du auch einmal in die Lernplaylist Differenzialrechnung.