Mehrfache Nullstellen

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Ich rechne gerade Aufgaben zur Partialbruchzerlegung. Es ist ja sehr wichtig zu wissen, ob die Nullstellen einfach oder mehrfach vorliegen. Woher genau weiß ich das, wenn ich den Graph nicht gegeben habe. Wie ich Nullstellen berechne ist klar und Partialbruchzerlegung auch. Muss ich die Funktion zusätzlich auf Extrema untersuchen und wenn an der Nullstelle zusätzlich auch ein Extrema ist, dann ist die Nullstelle mehrfach und wenn nicht einfach?

gefragt 2 Tage, 3 Stunden her
anonym
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2 Antworten
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Hey, am Besten kannst du das meiner Meinung an der Linearfaktorzerlegung ablesen, die ja auch oft Nullstellenform genannt wird.

Wenn du zum Beispiel was raushast wie:

\( p(x)=x^{3}\cdot (x-4) \cdot (x+3) \cdot (x+3) \cdot (x-0.5) \)

Dann kannst du einfach ablesen dass 0 eine 3-fache Nullstelle ist, 4 und 0.5 jeweils einfache und -3 eine zweifache.

Leuchtet dir das ein?

Viele Grüße, jojoliese 

geantwortet 2 Tage, 3 Stunden her
jojoliese
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Wenn du keine Linearfaktorzerlegung machen möchtest, kannst du die Vielfachheit auch mithilfe der Ableitungen überprüfen.

Nehmen wir an, du hast ein Polynom \( p \) und eine Nullstelle \( x_0 \). Dann ist \( x_0 \) eine \(n\)-fache Nullstelle, wenn \( x_0 \) auch eine Nullstelle der ersten \( n-1 \) Ableitungen von \( p \) ist, aber keine Nullstelle von der \(n\)-ten Ableitung von \(p\).

Beispiel: Das Polynom \( p = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 4x - 8 \) hat die Nullstelle \( x_0=2 \). Man kann nun nachrechnen, dass auch \( p^\prime(2)=0 \) und \( p^{\prime \prime} (2) = 0 \) sind, aber \( p^{\prime \prime \prime} (2) \neq 0 \) ist. Also ist \( x_0=2 \) eine \(3\)-fache Nullstelle.

geantwortet 2 Tage, 3 Stunden her
anonym
Student, Punkte: 4.3K
 
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