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Mit Hilfe der Taylorreihenentwicklung kann eine Funktion durch ihre Ableitung in einem Bestimmten Punkt "Entwicklungspunkt" approximiert ("angenähert") werden. Die Taylorreihe \(f(x_0)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k} +R(x_0)\) steht für die Annäherung einer ganzrationalen Funktion vom Grad \(k\) mit Restglied, in dem quasi die übrige exakte Abweichung von der Annäherung zur wirklichen Funktion festgehalten wird.
Zur linearen Approximation:
Eine lineare Funktion hat ja bekanntlich den Grad \(k=1\). Das bedeutet du approximierst die Taylorreihe für \(k=1\). Dies ergibt \(f(x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\). Hier ein besseren Bild zur Verdeutlichung:
\((x-x_0)\) beschreibt im Term deine Verschiebung um \(x_0\). Für deine allgemeine lineare Funktionsgleichung \(y=mx+n\) ist also \(m=f'(x_0)\) und \(n=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0\) eine Approximation für eine lineare Funktion der Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\).
Zur quadratischen Approximation:
Da Prinzip ist eigentlich das gleiche. Eine quadratische Funktion hat den Grad \(k=2\). Also die Taylorreihe für \(k=2\) entwickeln. Dies ergibt \(f(x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) +\dfrac{1}{2} f''(x_0)(x-x_0)^2\). Quadratische Approximationen oder Approximationen höheren Grades machen zum Beispiel bei trigonometrischen Funktionen Sinn.
Für deine allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion \(y=ax^2+bx+c\) werden die Koeffzienten angenähert durch \(a=\dfrac{1}{2}f''(x_0)\), \(b=f'(x_0)-f''(x_0)\cdot x_0\) und \(c=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0 +\dfrac{1}{2}\cdot f''(x_0)\cdot x_0^2\).
Falls dir das nicht ganz klar sein sollte schreib die Taylorreihe einfach mal zum entsprechenden Grad auf und fasse immer nach der entsprechenden Potenz von \(x\) zusammen um die Koeffizienten zu ermitteln.
Ich hoffe ich konnte dein Verständnis dazu etwas verbessern.
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