Hallo,

wir nehmen drei Matrizen: \(A\in R^{l\times m}\), \(B\in R^{m\times n}\) und \(C\in R^{l\times n}\) über einem Ring \(R\), sodass gilt:  \(A\cdot B=C\). Dabei sind \(A\) und \(B\) obere Dreiecksmatrizen. Wir wollen zeigen, dass \(C\) auch eine obere Dreiecksmatrix ist.

Dafür müssen wir zeigen, dass jeder Eintrag auf der Diagonalen oder unterhalb \(0\) ist. Für diese Einträge \(c_{i,k}\) gilt \(i\geq k\). Wie lässt sich dieser Eintrag ausrechnen? Durch die Formel:

$$c_{i,k}=\sum_{j=1}^{m}a_{i,j}\cdot b_{j,k}.$$

Diese Summe lässt sich aufspalten in einen Teil bis \(i\) und einen Teil ab \(i+1\):

$$c_{i,k}=\sum_{j=1}^{i}a_{i,j}\cdot b_{j,k}+\sum_{j=i+1}^{m}a_{i,j}\cdot b_{j,k}.$$

Weil \(A\) eine obere Dreiecksmatrix ist, gilt \(a_{i,j}=0\) für \(j\leq i\):

$$c_{i,k}=\sum_{j=1}^{i}0\cdot b_{j,k}+\sum_{j=i+1}^{m}a_{i,j}\cdot b_{j,k}=\sum_{j=i+1}^{m}a_{i,j}\cdot b_{j,k}.$$

Weil \(i\geq k\) gilt, lässt sich früher anfangen, dafür müssen die zusätzlichen Summanden aber abgezogen werden:

$$c_{i,k}=\sum_{j=k}^{m}a_{i,j}\cdot b_{j,k}-\sum_{j=k}^{i}a_{i,j}\cdot b_{j,k}.$$

Weil \(B\) eine obere Dreiecksmatrix ist, gilt \(b_{j,k}=0\) für \(j\geq k\):

$$c_{i,k}=\sum_{j=k}^{m}a_{i,j}\cdot 0-\sum_{j=k}^{i}a_{i,j}\cdot 0=0.$$

Somit gilt \(c_{i,k}=0\) für \(i\geq k\), oder anders gesagt: \(C\) ist eine obere Dreiecksmatrix! ;)