Kennst du die Regel von L'Hospital?
Durch anwenden dieser Regel bekommst du:
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-3x-1}{\sin^2(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^{3x}-3x-1)'}{(\sin^2(x))'}\)
Bilde also die Ableitung von Zähler und Nenner.
Du wirst sehen: Im Nenner steht \(2\sin(x)\cos(x)\).
Damit kannst du den Bruch auf ein Produkt von zwei Brüchen aufteilen, einem mit \(\cos(x)\) im Nenner und einen mit \(\sin(x)\) im Nenner.
Den Teil mit cos kannst du direkt auswerten. Auf den Teil mit sin musst du nocheinmal die Regel von L'Hospital anwenden. Dann kannst auch diesen Teil auswerten.
Zur Kontrolle: Es kommt
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-3x-1}{\sin^2(x)}=\dfrac{3}{2}\cdot 3=\dfrac{9}{2}\)
heraus. Veruch es ertmal selbst und wenn du Probleme hast schreib nochmal
Student, Punkte: 2.44K
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^{3x}-3x-1)'}{(\sin^2(x))'}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3e^{3x}-3}{2\cos(x)\sin(x)}\)
Das ganze Teilen wir jetzt auf zwei Faktoren auf:
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3}{2\cos(x)}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)}\)
Den vorderen Teil kannst du auswerten. es ist \(\cos(0)=1\). Du bekommst \(\dfrac{3}{2}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{\sin(x)}\)
Den hinteren Teil kannst du lösen, indem du hier nochmal L'Hospital anwendest. versuch es mal selbst ─ vetox 10.01.2021 um 11:15
.... wie gesagt stattdessen einfach nochmal L'Hospital anwenden, dann klappt es. ─ maqu 10.01.2021 um 11:35