Algebraische Strukturen

Aufrufe: 591     Aktiv: 22.11.2020 um 23:43
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Hey Leute,

Ich habe mal wieder ein paar gerechnete übungsaufgaben. Wäre jemand so nett und könnte die kontrollieren?

Danke im voraus

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Student, Punkte: 15

 
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Also 1 a b stimmt.

Bei 1c:

Du hast zum einen vergessen, zuerst \(w^{-1}\) auszurechne. Außerdem stimmt

\(\dfrac{z}{w}\) 

nicht. Das Ergebnis ist.

\(\dfrac{z}{w}=-0.5-0.5i\)

Wenn du einen Bruch hast, z.b.

\(\dfrac{z}{w}\) ,

dann erhälst du das Ergebnis in Real und Imaginärteil, indem du mit dem Komplex-Konjugierten des Nenners erweiterst. Du rechnest also

\(\dfrac{z}{w}\cdot\dfrac{\bar{w}}{\bar{w}}\)

Da hast du schon einen Fehler gemacht, denn das Vorzeichen ist falsch. Rechne das besser noch mal nach.

Bei d und e:

Hier hast du wohl die Aufgabe nicht richtig verstanden. Du sollst mit den exakten Werten rechnen und dann das Ergebnis mit Real- und Imaginärteil angeben. Also wieder wie oben mit dem Komplex konjugierten erweitern und dann vereinfachen:

\(\dfrac{3-2i}{2+4i}=\dfrac{(3-2i)(2-4i)}{(2+4i)(2-4i)}=\dfrac{-2-16i}{20}=-\dfrac{1}{10}-\dfrac{4}{5}i\)

Versuch die e mal alleine.

Bei Nummer 2:

a) ist richtig, würde ich als Lehrer so akzeptieren.

b) Fehlt

c) Da hier wohl kein allgemeiner Beweis gefordet ist ist der Ansatz soweit korrekt, nur dein Rechung stimmt wieder nicht. Wieder wie oben: Mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitern und dann auflösen. Hier scheinst du allgemein noch Probleme zu haben, übe das aufjeden Fall.

Es kommt jeweils wieder \(\dfrac{3-2i}{2+4i}=-\dfrac{1}{10}-\dfrac{4}{5}i\) bzw \(\dfrac{3+2i}{2-4i}=-\dfrac{1}{10}+\dfrac{4}{5}i\) heraus.

ab d) hier hast du das falsche Blatt hochgeladen, das ist wieder das selbe wie oben.

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Veilen Dank bisher! Ich habe jetzt nochmal die falschen Antworten hoffentlich richtig korriegiert. Zudem habe ich versucht 2b zu lösen. Könnten Sie bitte nochmal rüberschauen ond kontrollieren? Das wäre sehr nett   ─   albraa 21.11.2020 um 14:48
Das stimmt an mehreren Stellen nicht. Das siehst du aber auch direkt am Ergebnis: Du bekommst raus: \(Im(z)=Im(a+ib)=a\), der Imaginärteil ist aber offensichtlich \(b\)   ─   vetox 21.11.2020 um 17:00
Die ersten Schritte sind: \(\dfrac{1}{2i}(z-\bar{z})=\dfrac{z-\bar{z}}{2i}=\dfrac{(a+bi)-(a-bi)}{2i}\)
Fass das ganze mal weiter zusammen   ─   vetox 21.11.2020 um 17:03
Könntest du das vielleicht näher erläutern?
Ein kleiner Tipp für 2e und 3 wäre ebenfalls hilfreich.   ─   albraa 22.11.2020 um 08:47
Hätte eine Lösung für 2b und 2e jetzt drin, hoffentlich stimmt die Lösung.   ─   albraa 22.11.2020 um 10:46
Das stimmt alles nicht. Das was du rechnest erscheint mir überhaupt nicht logisch sondern eher wirr. Dir scheint es an absoluten Grundlagen zu fehlen, sowohl was komplexe Zahlen angeht als auch Kenntnisse der Algebra. Nochmal zu 2b: Du sollst \(\dfrac{1}{2i}(z-\bar{z})\) berechnen. Zuerst schreibst du das als Bruch: \(\dfrac{z-\bar{z}}{2i}\). Deine Komplexe Zahl \(z\) setzt sich zusammen aus \(z=a+bi\). Das Kompex Konjugierte ist dann \(\bar{z}=a-bi\). Das setzt du jetzt in den Bruch ein. \(\dfrac{(a+bi)-(a-bi)}{2i}\). Ein Minus vor einer Klammer löst du auf, indem du das Vorzeichen jeden Summandes vertauscht. \(\dfrac{a+bi-a-(-bi)}{2i}\). Minus mal Minus ergibt Plus. \(\dfrac{a+bi-a+bi}{2i}\). Das \(a\) fällt raus, denn \(a-a=0\). Du erhälst: \(\dfrac{bi+bi}{2i}\). Das kannst du weiter zusammenfassen: \(bi+bi=2bi\). Du erhälst \(\dfrac{2bi}{2i}\). Hier kannst du \(2i\) kürzen. Du erhälst das Ergebnis \(b\).   ─   vetox 22.11.2020 um 23:26
Bei der e stimmt auch nichts. Ich verstehe schon nicht wie du überhaupt auf die ersten Umformungen kommst. Du musst zuerst den Bruch ausrechnen. Dazu, ich wiederhole es jetzt schon so oft, erweiterst du mit dem Komplex Konjugierten des Nenners. Du musst also zuerst \(\dfrac{(3-2i)(2-4i)}{(2+4i)(2-4i)}\) berechnen. Wenn du dann eine Zahl hast, die von der Form \(a+bi\) ist kannst du weiter rechnen. Dann bestimmst du zuerst den Betrag und dann quadrierst du. Tipp: Der Betrag einer komplexen Zahl \(z=a+bi\) ist \(|z|=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\). Da du aber danach wieder quadrierst hebt sich das mit der Wurzel aus. Es gilt also: \(|z|^2=a^2+b^2\)   ─   vetox 22.11.2020 um 23:36
Für die 3: Rechne zuerst \(z\) in Polarform um. Also berechne Betrag und Winkel von \(z\). Dann siehst du, dass da einfache Werte bei rauskommen: \(z=e^{\frac{\pi}{4}i}\)
Damit sind deine Zahlen alle auf dem Kreis mit Radius \(r=1\). Die Rotation findest du dann indem du jeweils den Winkel ausrechnest, indem du mit dem Exponenten multiplizierst. \(z^2=\left(e^{\frac{\pi}{4}i}\right)^2=e^{2\cdot\frac{\pi}{4}i}\)   ─   vetox 22.11.2020 um 23:43

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