Question

Wie kann ich eine Basis aus C^2 in den R-Vektorraum überführen?

Erste Frage Aufrufe: 1668 Aktiv: 18.12.2020 um 10:56

0

Genauer gesagt geht es mir um die Aufgabe im Bild.

Ich verstehe nicht, wie ich v1=(1,0) bzw. v2=(0,1) aus C^2 in den R-Vektorraum überführen kann.

Es wäre unheimlich toll, wenn mir da jemand helfen könnte :)

LG

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gefragt 16.12.2020 um 14:53

sturmlx
Student, Punkte: 14

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1 Antwort

christian_strack · Answer 1 · 2020-12-16T15:55:50Z

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Hallo,

da die Vektorräume $V$ und $ W $ gleich sind, müssen sie die selben Vektoren beinhalten. Der große Unterschied zwischen diesen beiden Vektorräumen ist der zugrundleliegende Körper. Aus diesem gewinnen wir die skalare für unseren Vektorraum.

Betrachten wir das ganze mal in 1D. Der Vektorraum der komplexen Zahlen $\mathbb{C} $ als $ \mathbb{C}$-Vektorraum hat die Basis $ \textbf{1} $. Denn wir können jede komplexe Zahl $ z \in \mathbb{C} $ durch Multiplikation mit der Basis erzeugen, indem wir die komplexe Zahl selbst als Skalar wählen.

$$ z \cdot \textbf{1} = z \in \mathbb{C} $$

Wenn wir den Vektorraum der komplexen Zahlen $ \mathbb{C} $ aber als $ \mathbb{R}$-Vektorraum betrachten, können wir nicht mehr einfach die komplexe Zahl als Skalar nehmen, denn wir dürfen ja nur reelle Zahlen als Skalar wählen $r \in \mathbb{R} $. Wenn wir also den Basisvektor $ \textbf{1} $ haben, können wir nur noch reelle Zahlen darstellen

$$ r \cdot \textbf{1} = r \in \mathbb{R} $$

Wir brauchen also anscheinden noch mehr als nur diesen einen Basisvektor. Welcher Teil fehlt uns denn, um eine komplexe Zahl

$$ z = a+bi $$

darstellen zu können? Betrachte dafür den Ausdruck als Linearkombination.

Dieses Prinzip lässt sich genauso auf $ \mathbb{C}^2 $ anwenden. Welche Basis haben wir hier, wenn wir diesen Vektorraum über $ \mathbb{R} $ betrachten?

Versuch dich mal etwas. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

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geantwortet 16.12.2020 um 15:55

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

Erst einmal vielen lieben Dank für diese sehr ausführliche Erklärung!

Ich bin jetzt zu der Überlegung gekommen, dass man bei z = a + bi das a mit Hilfe der 1 darstellen kann (weil a ja eine reelle Zahl ist und wir gesagt haben, die kann man für r*1=r Element R schreiben). Fehlt also noch bi. Ich denke mal, dazu nehme ich einfach das i, um den Imaginärteil zu beschreiben. So komme ich dann insgesamt auf (1, i) - ist das richtig?

Ich habe jetzt nur noch Probleme, das auf C^2 umzustellen. Die 1 in v=(1,0) kann ich sicherlich durch (1, i) ersetzen, aber die 0? Muss ich da irgendwas besonderes beachten oder kann ich diese trivial als (0,0) überführen?

(Da hätte ich dann am Ende den Vektor v = (1,0) aus C als v = (1, i, 0, 0) aus R. Aber irgendwie hab ich mit dem Teil 0, 0 noch Bauchschmerzen - ich kann mir nicht vorstellen, dass das stimmt.)

Vielleicht kannst du mir ja noch einen kleinen Denkanstoß geben, das würde mir sehr helfen! :D ─ sturmlx 16.12.2020 um 17:07

Sehr gerne ;)
Ja die Idee ist die richtige, wir erhalten aber nicht den basisvektor $ \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} $, sondern die Basis
$$ \mathcal{B} = \{ 1 , i \} $$
Denn wir können jetzt alle komplexen Zahlen durch Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellen, also mit $ a,b \in \mathbb{R} $ gilt
$$ a\cdot 1 + b \cdot i \in \mathbb{C} $$
Wir können den $ \mathbb{R}$-Vektorraum $ \mathbb{C} $ aber auch als Vektoren darstellen wie wir sie aus der Schulzeit kennen. Dafür nehmen wir
$$ \textbf{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad i = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Nun wollen wir das auf den $ \mathbb{C}^2 $ übertragen. Deine Richtung ist schon mal nicht falsch.
Der Vektorraum $ \mathbb{C}^2 $ als $ \mathbb{C} $-Vektorraum kann dargestellt werden wie wir den Vektorraum $ \mathbb{R}^2 $ kennen gelernt haben. Wir haben ja jetzt wieder komplexe Zahlen als Skalare. Also können wir die Basis
$$ \mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
wählen. Denn ein Vektor aus dem $ \mathbb{C}$-Vektorraum $ \mathbb{C}^2$ hat die allgemeine Gestalt
$$ z = \begin{pmatrix} a+bi \\ c+di \end{pmatrix} $$
Nun betrachten wir den Vektorraum $ \mathbb{C}^2 $ wieder über $ \mathbb{R} $. Wir haben also wieder reelle Zahlen als Skalare. Wie könnten wir so einen Vektor $ z $ wie oben beschrieben nun darstellen? Wie müssen wir unsere Basis wieder erweitern?

Tut mir Leid das ich erst jetzt antworte

Sehr gerne ;)
Ja die Idee ist die richtige, wir erhalten aber nicht den basisvektor $ \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} $, sondern die Basis
$$ \mathcal{B} = \{ 1 , i \} $$
Denn wir können jetzt alle komplexen Zahlen durch Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellen, also mit $ a,b \in \mathbb{R} $ gilt
$$ a\cdot 1 + b \cdot i \in \mathbb{C} $$
Wir können den $ \mathbb{R}$-Vektorraum $ \mathbb{C} $ aber auch als Vektoren darstellen wie wir sie aus der Schulzeit kennen. Dafür nehmen wir
$$ \textbf{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad i = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Nun wollen wir das auf den $ \mathbb{C}^2 $ übertragen. Deine Richtung ist schon mal nicht falsch. 
Der Vektorraum $ \mathbb{C}^2 $ als $ \mathbb{C} $-Vektorraum kann dargestellt werden wie wir den Vektorraum $ \mathbb{R}^2 $ kennen gelernt haben. Wir haben ja jetzt wieder komplexe Zahlen als Skalare. Also können wir die Basis
$$ \mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
wählen. Denn ein Vektor aus dem $ \mathbb{C}$-Vektorraum $ \mathbb{C}^2$ hat die allgemeine Gestalt
$$ z = \begin{pmatrix} a+bi \\ c+di \end{pmatrix} $$
Nun betrachten wir den Vektorraum $ \mathbb{C}^2 $ wieder über $ \mathbb{R} $. Wir haben also wieder reelle Zahlen als Skalare. Wie könnten wir so einen Vektor $ z $ wie oben beschrieben nun darstellen? Wie müssen wir unsere Basis wieder erweitern?

Tut mir Leid das ich erst jetzt antworte

─ christian_strack 17.12.2020 um 00:15

Oh je, ich habe deine Antwort erst jetzt gesehen! Du hast das alles so übersichtlich aufgeschrieben und dann hab ich einfach erst jetzt wieder hier rein geschaut... Tut mir leid! Ich hoffe, dass du immernoch einen Augenblick Zeit hast, um mir zu helfen ^^'

Also wenn die Darstellungsform in C^2 z = (a+bi, c+di) ist, müsste das ja übertragen heißen, dass der eine Vektor (1,0) (der aus den komplexen Zahlen) quasi 1 = a+bi = 1+0i und 0 = c+di =0+0i ist. Oder? Wenn ich richtig läge, wäre unser Vektor dann im Vektorraum C^2 über R z = (1,0,0,0)?

Und für (0,1) aus dem C-Vektorraum dann entsprechend (0,0,1,0)? Ich habe so das Gefühl, dass ich wieder auf der falschen Fährte bin.

Meine Güte, das ist alles so verwirrend... Danke, dass du mir trotzdem hilfst :) ─ sturmlx 18.12.2020 um 10:01

Gar kein Problem :) Wir kämpfen uns da schon durch ;)

Denken wir dran, was eine Basis erfüllen muss. Wir müssen mit den Basisvektoren wieder jeden Vektor durch Linearkombination erzeugen können.
Sagen wir mal wir hätten die Basis
$$ \mathcal{E} = \{ e_1 , e_2 , e_3 \} $$
(diese hat jetzt nichts direkt mit unserem Beispiel zu tun), dann müssen wir jeden Vektor aus dem Vektorraum $ V$, zu dem die Basis gehört durch Linearkombination dieser drei Vektoren erzeugen können
$$ ae_1 + be_2 + ce_3 = v \in V $$
Dabei sind $ a,b $ und $ c $ aus dem zugrundeliegenden Körper.
Vergleichen wir das ganze wieder mit $ \mathbb{R}^2 $. Hier haben wir als eine mögliche Basis
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \right\} $$
Wir können jetzt jeden Vektor aus $ \mathbb{R}^2 $ durch Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen
$$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Nun wieder zu $ \mathbb{C}^2$. Wie gesagt haben wir den Vektor
$$ z = \begin{pmatrix} a + bi \\ c+ di \end{pmatrix} $$
Über dem Körper $ \mathbb{C} $ können wir wieder die Basis
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \right\} $$
nehmen, denn die Vorfaktoren können selbst die Form $ a+bi $ und $ c+di $ haben. Wenn wir uns aber nur aus den reellen Zahlen die Vorfaktoren schnappen dürfen, dann brauchen wir mehr als diese beiden Vektoren. Wichtig, mehr bedeutet nicht automatisch, das wir auch mehr Zeilen bei den Vektoren haben müssen. Erinnere dich, wie wir die Basis von $ \mathbb{C} $ gefunden haben und überlege dir das selbe für jede Zeile von $ z $

Gar kein Problem :) Wir kämpfen uns da schon durch ;)

Denken wir dran, was eine Basis erfüllen muss. Wir müssen mit den Basisvektoren wieder jeden Vektor durch Linearkombination erzeugen können.
Sagen wir mal wir hätten die Basis
$$ \mathcal{E} = \{ e_1 , e_2 , e_3 \} $$
(diese hat jetzt nichts direkt mit unserem Beispiel zu tun), dann müssen wir jeden Vektor aus dem Vektorraum $ V$, zu dem die Basis gehört durch Linearkombination dieser drei Vektoren erzeugen können
$$ ae_1 + be_2 + ce_3 = v \in V $$
Dabei sind $ a,b $ und $ c $ aus dem zugrundeliegenden Körper. 
Vergleichen wir das ganze wieder mit $ \mathbb{R}^2 $. Hier haben wir als eine mögliche Basis
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \right\} $$
Wir können jetzt jeden Vektor aus $ \mathbb{R}^2 $ durch Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen
$$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Nun wieder zu $ \mathbb{C}^2$. Wie gesagt haben wir den Vektor
$$ z = \begin{pmatrix} a + bi \\ c+ di \end{pmatrix} $$
Über dem Körper $ \mathbb{C} $ können wir wieder die Basis 
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \right\}  $$
nehmen, denn die Vorfaktoren können selbst die Form $ a+bi $ und $ c+di $ haben. Wenn wir uns aber nur aus den reellen Zahlen die Vorfaktoren schnappen dürfen, dann brauchen wir mehr als diese beiden Vektoren. Wichtig, mehr bedeutet nicht automatisch, das wir auch mehr Zeilen bei den Vektoren haben müssen. Erinnere dich, wie wir die Basis von $ \mathbb{C} $ gefunden haben und überlege dir das selbe für jede Zeile von $ z $

─ christian_strack 18.12.2020 um 10:56

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