Wie kann ich diese Extremwertaufgabe lösen? Exponentialfunktion/Scharfunktion

Aufrufe: 465     Aktiv: 19.01.2021 um 21:35
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Hi, ich hänge gerade an folgender Aufgabe und find keinen richtigen Ansatz:

Bestimmen sie den Paramter k so, dass der inhalt von den beiden Koordinatenachsen und

dem Graphen der Wendetangente begrenzte Fläche maximal ist.

f(x) = (x-k)*e^-x

Danke im Vorraus :)

Bestimmen Sie den Parameter k so, dass der Inhalt der von den beiden Koordinatenachsen und dem Graphen der Wendetangente begrenzten Fläche maximal ist.

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Schüler, Punkte: 24

 
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berechne den Wendepunkt und die Wendetangente in Abhängigkeit von k

die gesuchte Fläche ist ein Dreieck (Tangente, x, y) Achse; 

Zielfunktion ist dann der Flächeninhalt dieses Dreiecks, Variable ist k

(wenn ich mich nicht verrechnet habe ist k=-4 zur Kontrolle)

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selbstständig, Punkte: 11.89K

 
Also als mein Wendepunkt ist (k+2|2e^-k-2). Die Tangentengleichung hab ich mit dem tanLine-Befehl berechnet: t(x)= -x*e^-k-2 +(k+2)*e^-k-2 +2e^-k-2. Ist das soweit richtig?
   ─   pyrox31 19.01.2021 um 20:35
stimmt so, allerdings ist deine Tangentengleichung ein wenig unpraktisch zum Weiterrechnen. Wird man sehen. Was musst du jetzt ausrechnen?   ─   monimust 19.01.2021 um 20:42
Gesucht ist ja eine Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks als A = 1/2*a*b. Dann wäre a die Länge auf der x-Achse also die Nullstelle der Tangentengleichung und b die Höhe des Dreiecks also der Schnittpunkt mit der y-Achse. a wäre dann k+4 und b =(k+2)*e^-k-2 + 2e^-k-2   ─   pyrox31 19.01.2021 um 21:02
Hab die Lösung gefunden! danke für deine Hilfe :)
   ─   pyrox31 19.01.2021 um 21:35

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Bestimme zunächst den Wendepunkt und im Anschluss die Wendetangente (gegebenfalls in Abhängigkeit von dem Parameter \(k\)). Dann skizziere dir deine Funktion vielleicht mal für \(k=1\) in ein Koordinatensystem und überlege welche Fläche damit gemeint ist, die maximal werden soll. (Ob es mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ergibt, welches du mit einer Formel berechnen kannst oder ob es eine krummlinig begrenzte Fläche ist und du mit Hilfe des Integrals diese Fläche ausrechnen musst.) Daran kannst du dir dann überlegen wie deine Hauptbedingung lautet, welche du auf die Extremwerteigschaft untersuchen sollst.

Damit hast du denke ich erstmal einen Ansatz. Mache diese Schritte bis dahin erst einmal selbst und lade deine Lösungen hier hoch, dann schauen wir weiter. Wenn du auf Probleme stößt, kannst du natürlich auch jederzeit fragen.

 

Hoffe das hilft weiter.

 

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