Deine Ausdrucksweise ist nicht korrekt, und darum bist Du verwirrt.  Der Definitionsbereich ist \(\mathbb{R}\), in den Ausdruck \(3\mathrm{e}^x\) kann man nämlich alle Elemente aus \(\mathbb{R}\) für \(x\) einsetzen.  Es ist eine Abbildung, weil jedem \(x\) genau ein Wert zugeordnet wird. Allerdings nimmt die Funktion keine negativen Werte an, aber das heißt nicht, dass sie dort nicht definiert ist.  Du verwechselst Definitions- und Wertebereich.

Schau Dir jetzt die Definitionen für Injektiv, Surjektiv und Bijektiv an. Wende die entsprechenden Bedingungen auf die Abbildung an und entscheide, welche zutreffen.  Die Bedingungen in den Definitionen *sind* die Anleitungen dafür, was du tun musst.  Imitiere die Sprache und Beispiele aus der Vorlesung.  Wenn Du etwas aufgeschrieben hast, lade es hier hoch und wir helfen weiter.