naja, angenommen, die drei noten die insgesamt \(\frac{2}{3}\) zählen, heißen \(a_1, a_2, a_3\) und die zwei noten, die insgesamt \(\frac{1}{3}\) zählen, heißen \(b_1,b_2\).

Dann lässt sich deine gesamt note berechnen als \(\frac{2}{3} \cdot \frac{a_1 + a_2 + a_3 }{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{b_1 + b_2 }{2} \)

Wie so oft liegt das Problem hier an der ungenauen Formulierung der Ausgangsfrage. Wenn die Frager die Aufgabenstellung nicht im O-Ton posten, sondern selbst paraphrasieren, besteht immer dieses Risiko.
Aus meiner Sicht: cauchy und maqu lesen die Frage als "welche zu jeweils 2/3 zählen" (dasselbe mit 1/3). aufjedebewertungeinschnaps als "welche insgesamt zu 2/3 zählen" (dasselbe mit 1/3). Und damit kommt man auf unterschiedliche Ergebnisse (und es würde mich nicht wundern, wenn es noch andere Deutungen geben würde). Also sollte der Frager mal die Aufgabenstellung im Original posten. Kann auch sein, dass es in einer PO (Prüfungsordnung) so steht, dann bitte den Originalsatz aus der PO.

Was @cauchy geschrieben hat ist korrekt. Man berechnet dies über den gewichteten Mittelwert. Es müsste meines Erachtens auch gehen, wenn du die Noten mit der Gewichtung \(\dfrac{2}{3}\) doppelt mit in deine Berechnung des "normalen" Mittelwerts einbeziehst. Das ist vielleicht etwas intuitiver. Also z.B.:

Die Noten 1,2,3 mit Gewichtung \(\dfrac{2}{3}\) und die Noten 1,3 mit Gewichtung \(\dfrac{1}{3}\) ergeben für den "normalen" Mittelwert:

\(\dfrac{(1+2+3)+(1+2+3)+(1+3)}{8} =\dfrac{16}{8}=2,0\) genauso wie die Formel die @cauchy angebracht hat.

Beide Varianten führen zum gewünschten Notenschnitt.

Gedanklich kann man sich überlegen: 1,2,3 ergeben ein Drittel der Gesamt Note, nochmal 1,2,3 ergeben wieder ein Drittel der Gesamtnote und 1,3 ergeben das letzte Drittel der Gesamtnote.

Es handelt sich hier um einen gewichteten Mittelwert. Die Fomel dafür lautet:

\(\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}w_ix_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}w_i}\),

wobei die \(w_i\) hier die Gewichte der einzelnen Noten \(x_i\) sind. In drei Fällen hast du also \(w_i=\dfrac{2}{3}\) und in zwei Fällen \(w_i=\dfrac{1}{3}\).