Hast Du schonmal einen Induktionsbeweis gemacht? für den Anfang ist das hier nicht der einfachste.

Beim Ind.Anfang sollte \(\binom00\), nicht \(\binom01\), sonst richtig.

Die Ind.Annahme lautet: \(C_n\le 4^n\) sei für ein n gültig (wenn wir das für alle n annehmen würden, wäre ja nichts mehr zu zeigen).

Deine Umschreibung ist soweit ok, außer dass es am Ende nicht =1/(n+1) ist. Und die Klammern bei (2n)! nicht vergessen.

Ind Schritt: Erstmal schreibt man die zu zeigende Behauptung für n+1 hin (Klammern!).

Im Nachweis fängt man mit der komplizierter aussehenden Seite der Behauptung hin und formt dann solange um bis man die Annahmen anwenden kann. Dann schaut man weiter...

Also: \(C_{n+1} = ... = ...= ...C_n... \le\) Ind.Ann.\(...4^n... ....\le 4^{n+1}\)

Den Induktionsanfang hast du bereits erfolgreich gezeigt. Ich formuliere nochmals die Induktionsvorraussetzung:

Es gelte für beliebiges aber festes \(n\in\mathbb{N}\) die folgende Bedingung:

\(C_n:=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}\leq 4^{n}\). Die Induktionsbehauptung ist somit:

Man zeige: \(C_{n+1}=\frac{1}{n+2}\binom{2(n+1)}{n+1} \leq 4^{n+1}\)

Im Induktionsschritt muss nachgewiesen werden, dass aus der Induktionsvorraussetzung (gelegentlich auch Induktionsanfang) die Induktionsbehauptung folgt. Zuerst zeigen wir:

\(\binom{2(n+1)}{n+1}=\binom{2n+2}{n+1}=\frac{2}{n+1}\cdot\binom{2n}{n}\).

Dies lässt sich mithilfe der Definition des Binomialkoeffizienten leicht überprüfen.

Es gilt nämlich: \(\binom{2n+2}{n+1}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!\cdot(2n+2-(n+1))!}=\frac{(2n+2)\cdot (2n)!}{(n+1)!\cdot(n+1)!}=\frac{(2n+2)\cdot(2n)!}{(n+1)\cdot n!\cdot (n+1)\cdot n!}=\frac{2(n+1)\cdot (2n)!}{(n+1)^2\cdot n!\cdot n!}=\frac{2}{n+1}\cdot\binom{2n}{n}\).

Jetzt können wir die Induktionsbehauptung beweisen:

\(C_{n+1}=\frac{1}{n+2}\binom{2n+2}{n+1}=\frac{2}{(n+2)(n+1)}\binom{2n}{n}\)

Jetzt kommt die Induktionsvorraussetzung ins Spiel:

\(C_{n+1}=\frac{2}{(n+2)(n+1)}\binom{2n}{n}=\frac{2}{n+2}\cdot C_n\leq \frac{2}{n+2}\cdot 4^{n} \)

Setzen wir \(2=\frac{4}{2}\) ein so folgt:

\(C_{n+1}=\frac{2}{n+2}\cdot 4^{n}=\frac{4}{2(n+2)}\cdot 4^{n}=\frac{4^{n+1}}{2(n+2)} \)

Weil \(n\in\mathbb{N}\Rightarrow 2(n+2)>0\Rightarrow \frac{4^{n+1}}{2(n+2)}< 4^{n+1} \)

Somit folgt \(C_{n+1}\leq \frac{4^{n+1}}{2(n+2)}<4^{n+1}\) für alle \(n\in\mathbb{N}\)