(Twitter)
2
Hallo,
wie ist denn eine Basis definiert? Die Eigenschaften kann man leicht nachrechnen. Bedenke dafür, dass diese Eigenschaften bereits für die Elemente von \( \mathcal{B}_1 \) gelten.
Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Danke für die Ergänzung Phi :)
Nochmal zum Verstänis einer Basis. Wie Phi ja schon richtig erklärt hat, ist eine Basis ein minimales Erzeugendensystem.
Erklären wir zuerst das Erzeugendensystem: Ein Erzeugendensystem is wieder Name schon sagt ein System von Vektoren die eine gewissen Vektorraum erzeugen (aufspannen) können. Betrachten wir doch mal den \( \mathbb{R}^3 \). Der \( \mathbb{R}^3 \) ist ein Raum. Wenn wir uns nun an Ebenen aus der Schulzeit erinnern, dann haben wir dort das erste mal ein Erzeugendensystem kennengelernt ohne es zu merken.
$$ E: \vec{O} + t \vec{u } + s \vec{v} $$
Ganz genau genommen, ist dies nur ein Vektorraum für \( \vec{O} =0 \), da wir sonst nicht durch den Ursprung des Koordinatensystems wandern (und somit eine affinen Untervektorraum hätten, aber dazu mehr an anderer Stelle). Sagen wir also mal \( \vec O = 0 \)
$$ E: t \vec{u} + s \vec{v} $$
Diese Ebene beschreibt nun einen Untervektorraum des \( \mathbb{R}^3 \). Diese Ebene wird durch die beiden Vektoren \( u \) und \( v \) aufgespannt. Wir sagen jetzt nicht mehr aufgespannt, sondern erzeugt. Jetzt haben wir in der Schule aber auch kennen gelernt, dass \( \vec{v} \neq \lambda \vec{u} \) sein darf. Denn wäre das so, dann könnten wir uns nur entlang einer Gerade bewegen, weil beide Vektoren in die selbe Richtung zeigen, denn gelte die Gleichheit, hätten wir
$$ E : t\vec{u} + s \vec{v} = t \vec{u} + s ( \lambda \vec{u}) = t \vec{u}+ s \lambda \vec{u} = (t+s\lambda) \vec{u} $$
und das beschreibt natürlich eine Gerade.
Ist das bis hier hin verständlich?
So kommen wir zumindest zur linearen unabhängigkeit. LIneare Abhängigkeit heißt nämlich vereinfacht, dass die Vektorn nicht in die gleiche Richtung verlaufen. Und so lange sie das nicht tun, auch wenn sie sich nur um ein klitze kleines bisschen unterscheiden, können wir aus zwei Vektoren eine Ebene erzeugen.
So kommen wir dann zum Begriff der Basis. Wir suchen eine Menge die unseren Vektorraum aufspannen kann (wie die Spannvektoren unserer Ebene). Nun könnten wir für die obige Ebene auch das Erzeugendensystem:
$$ \mathcal{E} =\{ \vec{u}, \vec{v} , (\vec{u}+\vec{v}) \} $$
wählen. Ist das klar dass das funktioniert? Die Summe der beiden Spannvektoren verläuft nicht in die selbe Richtung wie die Spanvektoren selbst. Wir haben trotzdem ein Erzeugendensystem.
Um solche Fälle für die Basis zu vermeiden, suchen wir das minimale Erzeugendensystem. Um die Vektoren zu eliminieren die "zu viel" sind, prüfen wir alle Vektoren auf lineare unabhängigkeit
$$ a \cdot \vec{u} + b \vec{v} + c (\vec{u} + \vec{v} ) = 0$$
Wenn wir \( a=b=1 \) und \( c =-1 \) setzen, ist die Gleichung erfült. Wenn alle Koeffizienten Null werden, dann kann keiner der Vektoren im Erzeugendensystem durch einen anderen Vektor erzugt werden und wir haben das sogenannte minimale Erzugendensystem gefunden, oder auch Basis genannt. :)
─ christian_strack 14.10.2020 um 09:34
Nochmal zum Verstänis einer Basis. Wie Phi ja schon richtig erklärt hat, ist eine Basis ein minimales Erzeugendensystem.
Erklären wir zuerst das Erzeugendensystem: Ein Erzeugendensystem is wieder Name schon sagt ein System von Vektoren die eine gewissen Vektorraum erzeugen (aufspannen) können. Betrachten wir doch mal den \( \mathbb{R}^3 \). Der \( \mathbb{R}^3 \) ist ein Raum. Wenn wir uns nun an Ebenen aus der Schulzeit erinnern, dann haben wir dort das erste mal ein Erzeugendensystem kennengelernt ohne es zu merken.
$$ E: \vec{O} + t \vec{u } + s \vec{v} $$
Ganz genau genommen, ist dies nur ein Vektorraum für \( \vec{O} =0 \), da wir sonst nicht durch den Ursprung des Koordinatensystems wandern (und somit eine affinen Untervektorraum hätten, aber dazu mehr an anderer Stelle). Sagen wir also mal \( \vec O = 0 \)
$$ E: t \vec{u} + s \vec{v} $$
Diese Ebene beschreibt nun einen Untervektorraum des \( \mathbb{R}^3 \). Diese Ebene wird durch die beiden Vektoren \( u \) und \( v \) aufgespannt. Wir sagen jetzt nicht mehr aufgespannt, sondern erzeugt. Jetzt haben wir in der Schule aber auch kennen gelernt, dass \( \vec{v} \neq \lambda \vec{u} \) sein darf. Denn wäre das so, dann könnten wir uns nur entlang einer Gerade bewegen, weil beide Vektoren in die selbe Richtung zeigen, denn gelte die Gleichheit, hätten wir
$$ E : t\vec{u} + s \vec{v} = t \vec{u} + s ( \lambda \vec{u}) = t \vec{u}+ s \lambda \vec{u} = (t+s\lambda) \vec{u} $$
und das beschreibt natürlich eine Gerade.
Ist das bis hier hin verständlich?
So kommen wir zumindest zur linearen unabhängigkeit. LIneare Abhängigkeit heißt nämlich vereinfacht, dass die Vektorn nicht in die gleiche Richtung verlaufen. Und so lange sie das nicht tun, auch wenn sie sich nur um ein klitze kleines bisschen unterscheiden, können wir aus zwei Vektoren eine Ebene erzeugen.
So kommen wir dann zum Begriff der Basis. Wir suchen eine Menge die unseren Vektorraum aufspannen kann (wie die Spannvektoren unserer Ebene). Nun könnten wir für die obige Ebene auch das Erzeugendensystem:
$$ \mathcal{E} =\{ \vec{u}, \vec{v} , (\vec{u}+\vec{v}) \} $$
wählen. Ist das klar dass das funktioniert? Die Summe der beiden Spannvektoren verläuft nicht in die selbe Richtung wie die Spanvektoren selbst. Wir haben trotzdem ein Erzeugendensystem.
Um solche Fälle für die Basis zu vermeiden, suchen wir das minimale Erzeugendensystem. Um die Vektoren zu eliminieren die "zu viel" sind, prüfen wir alle Vektoren auf lineare unabhängigkeit
$$ a \cdot \vec{u} + b \vec{v} + c (\vec{u} + \vec{v} ) = 0$$
Wenn wir \( a=b=1 \) und \( c =-1 \) setzen, ist die Gleichung erfült. Wenn alle Koeffizienten Null werden, dann kann keiner der Vektoren im Erzeugendensystem durch einen anderen Vektor erzugt werden und wir haben das sogenannte minimale Erzugendensystem gefunden, oder auch Basis genannt. :)
─ christian_strack 14.10.2020 um 09:34
Ich würde mir jetzt für die kommende Klausur es so merken, dass wenn eine Abbildung als Basis für einen Vektorraum zu zeigen ist, es sich vermutlich um die Prüfung auf lineare Unabhängigkeit handelt. Danke und LG ─ aweis 13.10.2020 um 21:52