In diesem Fall hast Du ja 4 Vorgaben, die verschieden sind. Es kann daher maximal eine passen.

Da ist das einfachste, Du setzt die nacheinander in die Rekursionsformel auf beiden Seiten ein und stellst um. Wenn Du bei 0=0 landest, ist es die richtige (und die anderen braucht man nicht mehr prüfen). Wenn nicht, die nächste prüfen. Natürlich den Startwert auch prüfen.

Allgemein: Schreibe dir die ersten Folgenglieder auf, und versuche eine Regelmäßigkeit zu finden. Diese beweist du dann mittels vollständiger Induktion.
Hier: \[\begin{equation} a_0 = 1\\ a_1 = 2 + 1 \\ a_2 = 2^2 + 2^1 + 2^0 \end{equation} \]

Wir überlegen uns also die mögliche explizite Formel \(a_n = \sum_{k=0}^{n} 2^k\), welche sich leicht mittels vollständiger Induktion beweisen lässt.

Mit der geometrischen Summenformel erhält man \(a_n = \frac{1-2^{n+1}}{1-2} = 2^{n+1} - 1\).

Da ja Antwortmöglichkeiten gegeben waren, hätte man im Prinzip die Frage auch schon direkt nach der Vermutung beantworten können, da dies die einzige Antwortmöglichkeit ist, die in Anbetracht der Vermutung Sinn ergibt.

Wenn du eine Antwortmöglichkeit für sehr wahrscheinlich hältst, kannst du auch versuchen, diese schnell (hier nur umrissen!) mittels vollständiger Induktion zu beweisen: \(a_{n+1} = 2^{n+2} - 1 = 2(2^{n+1} - 1 + 1)- 1= 2a_n + 2 -1 = 2a_n + 1\).