Ich würde hier auf das Epsilon-Delta-Kriterium zurückgreifen.
Sei \( x_0 \in [0,1] \cup [2,3] \) beliebig. Wir wollen zeigen, dass \(h\) in \(x_0\) stetig ist.
1. Fall: \( x_0 \in [0,1] \). Zu einem beliebigen \( \varepsilon > 0 \) wählen wir \( \delta = \frac{1}{2} \). Dann gilt für alle \( x \in [0,1] \cup [2,3] \):
Aus \( \vert x - x_0 \vert < \delta \) folgt zunächst \( x \in [0,1] \).
(Denn für \( x \in [2,3] \) gilt \( \vert x - x_0 \vert = x - x_0 \ge 2 - 1 = 1 > \frac{1}{2} = \delta \).)
Somit folgt dann
\( \vert h(x) - h(x_0) \vert = \vert 0-0 \vert = 0 < \varepsilon \)
Also ist \(h\) stetig in \( x_0 \).
2. Fall: \( x_0 \in [2,3] \). Den kannst du mal selber versuchen. Funktioniert völlig analog.
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Sei \(\tilde{x}\in [0,1]\) und \(x_n\) eine Folge mit \(\lim_{n\to\infty} x_n=\tilde{x}\). Nun gilt: \(\lim_{n\to\infty} f(x_n) = 0 = f(\tilde{x})\).
Dies wäre nun mein Ansatz für den ersten Fall, jedoch glaube ich nicht das ich einfach \(\lim_{n\to\infty} f(x_n) = 0\) machen kann, da \(x_n\) doch auch außerhalb von \([0,1]\) sein könnte, oder liege ich da falsch? ─ kingkevin23 13.01.2021 um 18:38