Hallo,

ich befasste mich in letzter Zeit mit der Polardarstellung komplexer Zahlen und Übungsbeispielen diesbezüglich.
Vor allem ging es dabei darum, Betrag und Argument einer komplexen Zahl zu berechnen, was ja mithilfe der trigonometrischen Darstellung einfach möglich ist:
\( z = \vert z \vert^n \cdot ( \cos(n\cdot\psi) + i \cdot \sin(n\cdot\psi) ) \), \( arg(z) = \phi = n\cdot\psi\)

Bei den meisten Aufgaben hat das Aufstellen dieser Form und anschließendes Ablesen gut funktioniert, jedoch komme ich auch 3 mal nicht auf das korrekte Ergebnis - allerdings nur beim Argument. Missachte ich auf irgendeine Art und Weise die Periodizität oder übersehe ich etwas beim Anwenden des Arkustangens? Ich bin etwas irritiert, da die von mir genutzte Methode oft auch funktioniert hat.
Ich habe bis jetzt noch keine Lösung gefunden und bitte euch hier um Hilfe & Korrektur; anbei sind die essentiellen Schritte meines Rechenweges sowie ein Screenshot der Lösung.

Vielen Dank für eure Zeit!

1)


\( z_1 = 9 \cdot ( \cos(\frac {1} {2}\cdot\pi) + i \cdot \sin(\frac {1} {2}\cdot\pi) ) \)
\( \frac {z_1} {z_2} = \frac {\vert z_1 \vert} {\vert z_2 \vert} \cdot ( \cos(\phi_1 - \phi_2) + i \cdot \sin(\phi_1 - \phi_2) = \frac {9} {5} \cdot ( \cos(\pi\cdot(\frac {1} {2} - \frac {23} {32})) + i \cdot \sin(\pi\cdot(\frac {1} {2} - \frac {23} {32})) = \)
\( = \frac {9} {5} \cdot ( \cos(-\frac {7} {32}\cdot\pi) + i \cdot \sin(-\frac {7} {32}\cdot\pi) \)
\( \Rightarrow \frac {\vert z_1 \vert} {\vert z_2 \vert} = \frac {9} {5} \), \( arg(\frac {z_1} {z_2}) = -\frac {7} {32}\cdot\pi \)

2)

\( z_1 = 6 \cdot ( \cos(-\frac {2} {3}\cdot\pi) + i \cdot \sin(-\frac {2} {3}\cdot\pi) ) \)
\( z_1 \cdot z_2 =  \vert z_1 \vert \cdot \vert z_2 \vert \cdot ( \cos(\phi_1 + \phi_2) + i \cdot \sin(\phi_1 + \phi_2) = 24 \cdot ( \cos(\frac {-92} {75}\cdot\pi)) + i \cdot \sin(\frac {-92} {75}\cdot\pi)) \)
\( \Rightarrow \vert z_1 \vert \cdot \vert z_2 \vert = 24 \), \( arg(z_1 \cdot z_2) = \frac {-92} {75}\cdot\pi \)

3)


\( z = (-4 -7i)^6 \), substituieren: \( -4-7i = w \)
\( \vert z \vert = \vert w \vert^6 = \vert \sqrt{(-4)^2 + (-7)^2} \vert^6 = (\sqrt{65})^6 \)
\( w^6 = \vert w \vert^6 \cdot (\cos(6 \cdot \arctan(\frac {-7} {-4}) ) + i \cdot \sin(6 \cdot \arctan(\frac {-7} {-4}) ) ) \Rightarrow arg(z) = 6 \cdot \arctan(\frac {-7} {-4}) \)