Warum bestehen die Spaltenvektoren von Matrix S bei der Transformationsformel aus Basisvektoren?

Aufrufe: 832     Aktiv: 19.06.2020 um 15:31
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Hallo ich habe schwierigkeiten bei diesem Satz zu akzeptieren, dass S aus Basisvektoren besteht:

Transformationsformel für quadratische Matrizen

Die Darstellungsmatrix der lin. Abb. \(\phi_A:\mathbb{K}^n->\mathbb{K}^n, v->Av\) bezüglich einer geordneten Basis \(B=((b_1,...,b_n))\) des \(\mathbb{K}^n\) lautet

\(M(\phi_A)^B_B=S^{-1}AS\) wobei \(S=((b_1,...,b_n))\) gilt.

 

Mein Gedankengan ist: Wegen der Basistransformationsformel müsste ja eigentlich  \(S=M(id_{\mathbb{K}^n})^B_B\) gelten. Und dann wäre \(S=E_n\), also die Einheitsmatrix.

 

 

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Meines Erachtens müsste die Formel für die Darstellungsmatrix bezüglich der geordneten Basis B lauten (wie du schon sagtest)

\(M(\phi_A)^B_B = S^{-1}AS\).

Multipliziert man einen Vektor zur Basis B von rechts an diese Darstellungsmatrix, dann wird dieser erst "übersetzt" in einen Vektor zur Standardbasis - dieser mit A abgebildet und dann wieder in einen Vektor zur Basis B übersetzt.

Vielleich vermischst du hier in deinem Verständnis die Basistransformation einer Basis und die Darstellungsmatrix zu einer bestimmten Basis einer linearen Abbildung?

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Lehrer/Professor, Punkte: 1.29K

 
Danke, ich hatte die Basen durcheinander gebracht: \(A=M(\phi_A)_{E_n}^{E_n}\), also ist \(S=M(id_{\mathbb{K}^n})_{E_n}^{B}\) und nicht \(M(id_{\mathbb{K}^n})_{B}^{B}\)   ─   nerdini795 18.06.2020 um 12:25
Das klingt sinnvoll!   ─   mathe.study 18.06.2020 um 12:51

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Einfach weil \(S\) invertierbar sein muss. Eine invertierbare matrix hat vollen Rang, was wiederum heisst, dass die spaltenvektoren linear unabhaengig sind, und damit bilden die Spaltenvektoren eine Basis.

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Student, Punkte: 560

 
Hi :) Etwas spät aber die Frage war warum S aus *dieser* Basis besteht und nicht warum S aus *einer* Basis besteht. Ich hatte auch etwas durcheinander gebracht, siehe meinen anderen Kommentar!   ─   nerdini795 19.06.2020 um 15:31

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