Äquivalenzrelation bestimmen

Aufrufe: 752     Aktiv: 22.11.2020 um 19:50
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Hallo,

ich habe für folgende Aufgabe irgendwie den Überblick verloren:

Bestimme für die Äquivalenzrelation

R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6),(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4)}

die zugehörige Zerlegung von {1, 2, 3, 4, 5, 6} entsprechend dem Hauptsatz über Äquivalenzrelationen!

Also, die drei Punkte aus dem Hauptsatz sind ja:reflexiv, symmetrisch, transistiv.

Ich hätte jetzt gedacht, dass ich für die Zahlen 1 bis 6 die drei Paare herausfinden muss. Dabei scheint es mir so zu sein:

reflexiv: R{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

symmetrisch: R{(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)} (also es kommen eigentlich nur noch (5,6) und (6,5) dazu.

transistiv: R{(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4),

aus (1, 2), (2, 3) folgt (1, 3) -> gibt’s aber schon

aus (2, 1), (1, 3) folgt (1, 3) -> gibt’s schon

aus (3, 1), (1, 2) folgt (3, 2) -> gibt’s schon

…

aus (4, 5), (5, 6) folgt (4, 6)

(4, 6)

also kann ich ergänzen: transistiv: R{(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4),(4, 6),}, muss dann auch (6, 4) ergänzt werden?

 

ich habe den Überblick verloren...

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1 Antwort
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Im Hauptsatz steht nichts von drei Punkten. Die stehen in der Def.. Mach Dir den Unterschied zwischen Def. und Satz klar, das ist wichtig in der Mathematik.

In der Aufgabe steht nichts davon, dass Du zeigen sollst, dass die geg. Relation eine ÄR ist. Dann würde ich das auch nicht tun (oberste Regel beim Aufgaben lösen: nichts tun, was nicht gefragt ist).

Der Hauptsatz sagt, dass die Menge \(\{1,2,3,4,5,6\}\) durch die ÄR in Äklassen zerlegt wird. Zerlegt heißt aufgeteilt, also mehr als 6 kann es schon nicht geben, der Extremfall wäre {1},{2},{3},{4},{5},{6}. Dann steht aber jedes nur mit sich selbst in Relation.

Analogie: Die ÄR "hat die gleiche Schuhgröße wie" zerlegt die Menschheit in Mengen (=Äklassen) gleicher Schuhgröße. In einer davon sind also alle Menschen mit Gr 43, in einer anderen mit 42 usw. In einer Äklasse sind alle zusammengefasst, die zueinander äquivalent sind.

2 z.B. ist in derselben ÄK wie 1, denn die sind ja in Relation laut Vorgabe. Dann können es schon max. 5 Mengen werden.

Probier mal.

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Ah.....!
Also: M1 {1,2,3}, M2 {4,5}, M3 {6}
Ist es das?   ─   katic64 22.11.2020 um 17:41
Ja, das stimmt :-) Danke, danke, danke!!!!   ─   katic64 22.11.2020 um 19:50

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.