DGL 1 Ordnung, maximales Lösungsintervall

Aufrufe: 831     Aktiv: 17.02.2020 um 20:09
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Hallo

Ich muss sämtliche Lösungen folgender DGL bestimmen:

\( y' = \frac{3x^2}{1-y} \). \( y \neq 1\)

Ich weiss ja grundsätzlich schon wie ich da vorgehen muss, aber da ich es jetzt schon länger nicht mehr gemacht habe, scheitere ich schon beim Trennen der Variablen:

\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{1-y} \)

\( \Leftrightarrow \) \( (1-y)dy = 3x^2dx \)

\( \Leftrightarrow \int (1-y) dy = \int 3x^2 dx \)

\( \Leftrightarrow -0.5(y^2-2y) = x^3 + c\) (Habe die Konstante vom linken Integral bereits nach rechts rübergenommen und zu c zusammengefasst.

 

Nun komme ich nicht mehr weiter, da ich ja y alleine dastehen haben möchte.

Habe bereits auch schon die Mitternachtsformel angewandt aber das Resultat sieht ein bisschen hässlich aus.

Vielen Dank für eure Rückmeldungen.

 

Dgl
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Hallo,

die Idee ist absolut richtig. Lösungen von DGLs sehen leider häufig nicht sonderlich schön aus. 

Du kommst auf die Gleichung

$$ y^2 -2y +2x^3+2c = 0 $$

Wenden wir die pq-Formel an, erhalten wir

$$ y_{1/2} = 1 \pm \sqrt{1 - 2(x^3 +c)} $$

Versuchen wir doch mal die Probe

$$ y_{1/2}^{\prime} = \pm (-6x^2) \cdot \frac 1 2 \cdot  \frac {1} {\sqrt{1-2(x^3+c)}} = \mp \frac {3x^2} {\sqrt{1-2(x^3+c)}} $$

Wenn wir das nun in die DGL einsetzen, erhalten wir 

$$ \frac {3x^2} {1-y} = \frac {3x^2} {1- (1 \pm \sqrt{1 - 2(x^3 +c)})} = \frac {3x^2} { \mp \sqrt{1 - 2(x^3 +c)}} = \mp \frac {3x^2} {\sqrt{1-2(x^3+c)}} = y_{1/2}^\prime$$

Grüße Christian

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Hallo Christian!

Vielen Dank für deine Rückmeldung. Dann war es ja doch nicht so verkehrt was ich gemacht habe. :-)
   ─   wizzlah 17.02.2020 um 19:18
Sehr gerne.
ja war alles richtig. Hättest es nur zu Ende bringen müssen. Man muss sich leider oft davon verabschieden, das Lösungen schön aussehen. Zur Not einfach mal die Probe machen. :)   ─   christian_strack 17.02.2020 um 20:09

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