Sei \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und \(u \in BV(\Omega)\), bedeutet \(u\) ist von beschränkter Variation in Omega. Dann existiert ein endliches signiertes Radonmaß \(Du\), nämlich genau die schwache Ableitung von \( u\), mit der Eigenschaft:

\(\displaystyle \int_\Omega u \text{div} \varphi d\mathcal{L}^n = \displaystyle \int_\Omega \langle\varphi,Du\rangle, \forall \varphi \in C_c^1(\Omega)\),
wobei  \(\mathcal{L}^n\) das n-dimensionale Lebesguemaß beschreibt. Da \(Du\) ein Radonmaß ist, können wir es mithilfe des Zerlegungssatzes von Lebesgue folgendermaßen zerlegen:
\( Du = D^au +D^su\), wobei \(D^au \ll \mathcal{L}^n\) und \(D^su \perp \mathcal{L}^n \). Soweit ich weiß beschreibt \(D^au\) den glatten Teil von u, heißt in Umgebungen von Punkten, in denen \(u\) klassisch differenzierbar ist, ist \(D^au = \nabla u\). Und \(D^su\) beschreibt den "Sprungteil" der Funktion, jedoch weiß ich nicht genau, was der Sprungteil einer Funktion ist, einfach nur alle Stellen in denen \(u\) nicht differenzierbar ist, oder steckt da noioch mehr dahinter?  Ich wäre auch dankbar über ein Beispiel einer Funktion welche einen differenzierbaren Teil und einen Sprungteil hat.