Rekursiv definierte Folge - einige Dinge zeigen

Aufrufe: 930     Aktiv: 12.05.2019 um 16:03
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Guten Abend!

Bei folgender Aufgabe tue ich mich bei Teil (b) schwer. Teil (a) konnte ich bereits durch Umformung zeigen.

Bei der (b) soll ich die Gleichung ja wohl irgendwie in die Form der Bernoullischen Ungleichung bringen, nur weiß ich leider nicht wie ich das hinbekomme, ich habe schon alles mögliche hin und her gerechnet und komme dabei nicht weiter.

Die (c) konnte ich nun ebenfalls durch Umformen und Anwenden von (b) erreichen.

Ich hoffe, mir kann jemand dazu Anstöße geben!

Vielen Dank!

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Nach einigem Knobeln konnte ich die (b) tatsächlich auch zeigen, indem ich einfach die gesamte Ungleichung ^p genommen habe und umgestellt habe.
Nun habe ich nur noch eine Frage: Was könnte mit x^p bei der Folgerung gemeint sein?   ─   tisterfrimster 12.05.2019 um 17:04
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Hallo,

da wir eine reelle Folge haben, ist der Grenzwert auch reell. Wenn nun der Grenzwert eine reelle positive Lösung der Gleichung \( x^p = a \) ist, ist der Grenzwert 

\( \lim_{n \to \infty} x_n = + \sqrt[p]{a} \)

Durch ein bestimmtes \( a \) und \( p \) wird die Lösung im reellen eindeutig.

Wäre die Lösung nicht positiv, so hätte man diese Eindeutigkeit nicht bei geraden \( p \), da beispielsweise mit \( p=2 \) mögliche reelle Lösungen

\( x = \pm \sqrt{a} \) 

sind

Grüße Christian

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