\[\begin{align}\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^{k-1}k^2& = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k-1}k^2+ (-1)^n(n+1)^2 \\
&= (-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2} + (-1)^n(n+1)^2 \\
&= (-1)^n\left((n+1)^2 - \frac{n(n+1)}{2}\right) \\
&= (-1)^n\frac{(n+1)(2(n+1)-n)}{2} \\
&= (-1)^{(n+1)-1}\frac{(n+1)(n+2)}{2} \\
&=(-1)^{(n+1)-1}\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}\end{align}\]

Von der Rechnung her ist es korrekt. Ich hätte ein paar Anmerkungen zur Schreibweise und zur Logik:

1.) Bei der Formulierung der Aussage muss auf der linken Seite innerhalb der Summe jeweils k stehen statt n. Das n ist hier die obere Grenze, in den Summanden steht k.

2.) Zu II: Du schreibst: "Wir nehmen an, dass die Aussage für alle `n in NN` gilt." Das "alle" ist falsch. Dass es für alle n gilt willst du erst beweisen. Du nimmst an, dass es für ein n gilt und zeigst daraus, dass es auch für n+1 gilt.

3. Zu III: Ich habe immer Bauchschmerzen, wenn jemand Gleichheiten dadurch zeigen möchte, dass er mit der Behauptung anfängt und diese dann umformt bis die Voraussetzung oder etwas wahres rauskommt. Denn dann muss man wirklich Äquivalenzumformungen machen und darauf achten, dass die Folgerung von unten nach oben gilt. Dabei passieren leicht fehler. Besser ist es, mit der linken Seite anzufangen, und diese solange umzuformen, bis die rechte Seite herauskommt. Oder beide Seiten einzeln umformen, bis bei beiden das gleiche rauskommt. Bis auf die eine Gleichungsumformung am Anfang, wo du `(-1)^n (n+1)^2` auf die rechte Seite bringst, hast du ja auch die Seiten einzeln umgeformt. Also besser gleich so aufschreiben.

Warum das wichtig ist: Wenn du zeigst, dass aus deiner Behauptung die Voraussetzung folgt, oder dass aus der Behauptung eine wahre Aussage folgt, hast du gar nichts gezeigt. Du musst vielmehr umgekehrt zeigen: Aus der Voraussetzung folgt die Behauptung, bzw. aus etwas Wahrem folgt mit Hilfe der Voraussetzung die Behauptung.