Hey,

fangen wir mal mit (1) an.

(1) Bei (a) und (b) hast du die Ebene in Koordinatenform und die Gleichung in Parameterform. Jede Zeile der Geradengleichung entspricht dabei ja einer Koordinate. Also die erste Zeile der Gerade gibt dir die \(x_1 \)-Koordinate des Punktes auf der Geraden, die 2. Zeile die \(x_2\)-Koordinate und die 3. Zeile die \(x_3\)-Koordinate. Entsprechend kannst du die einzelnen Zeilen für die Variablen in der Ebenengleichung einsetzen. Dann hast du in der Ebenengleichung nach dem Einsetzen nur noch den Geradenparameter \(r \) und kannst die Ebenengleichung nach diesem Parameter auflösen und erhältst deinen Wert für \(r \). Diesen setzt du wiederum in die Geradengleichung ein und erhältst deinen Schnittpunkt.

Bei (c) und (d) hast du sowohl die Gerade, als auch die Ebene in Parameterform. Dadurch, dass du aufgrund der Aufgabenstellung weißt, dass sich Gerade und Ebene schneiden, kannst du Gerade und Ebene gleichsetzen. (ACHTUNG: ich würde die Parameter der Ebene nicht mit \( r \) und \( s\) bezeichnen, sondern mit \(s \) und \(t \), da sich das \(r \) aus der Ebenengleichung und das \( r \) aus der Geradengleichung unterscheiden, es beim Gleichsetzen sonst aber zur Verwirrung kommen kann!)

Wenn du die Ebenengleichung und Geradengleichung gleichgesetzt hast, kannst du daraus ein Gleichungssystem mit den 3 Unbekannten formulieren. Das kannst du wiederum mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Wenn du die Werte für deine Parameter bestimmt hast, musst du die noch in die entsprechende Geraden und Ebenengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunktes zu berechnen!

Kommen wir nun zu (2) - Im Gegensatz zur 1. Aufgabe wissen wir hier nicht, ob sich Gerade und Ebene schneiden. Wir sollen die Lagebeziehung untersuchen.

Zwischen Gerade und Ebene gibt es 3 mögliche Lagebeziehungen:

1. Die Gerade und die Ebene schneiden sich

2. Die Gerade verläuft parallel zur Ebene

3. Die Gerade liegt in der Ebene

Es gibt einige Kriterien mit denen man die aufgezählten Lagebeziehungen unterscheiden kann. Fangen wir mit (2.) und (3.) an, da sie im Kern auf der gleichen Idee beruhen:

Eine Gerade verläuft parallel zu einer Ebene, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht zum Richtungsvektor der Gerade ist. Das ist ein gut überprüfbares Kriterium, da du lediglich das Skalarprodukt der beiden Vektoren (also zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor) berechnen musst. Wenn es 0 ist, dann sind die beiden Vektoren orthogonal/senkrecht zueinander und du weißt, dass die Gerade entweder parallel ist oder sogar identisch.

Wie unterscheidet man jetzt eine Gerade, die parallel verläuft zu einer Gerade, die in der Ebene verläuft? - Die Punktprobe. Du nimmst also einen Punkt wie z.B. den Stützvektor der Gerade und setzt ihn in deine Ebenengleichung ein. Anschließend überprüfst du, ob dafür eine wahre Aussage in der Ebenengleichung existiert. Wenn dem so ist, liegt der Punkt in der Ebene und die Gerade verläuft dementsprechend auch in der Ebene. Liegt der Punkt nicht in der Ebene, dann verläuft die Gerade lediglich parallel zur Ebene.

So und was ist, wenn die geprüfte Orthogonalität zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor nicht erfüllt ist? - Dann weißt du, dass sich Gerade und Ebene schneiden und du kannst die in Aufgabe (1) genannten Schritte durchführen, um den Schnittpunkt von Gerade und Ebene zu bestimmen!

So das war nun ein Refresh der Theorie, kommen wir nun zur Anwendung:

Bei (a), (b) und (c) hast du die Ebene wiederum in Koordinatenform vorliegen. Die Faktoren vor den Variablen geben dir den Normalenvektor der Ebene. Bei (a) ist z.B. \( (2;3;-4) \) der Normalenvektor der Ebene. Der Richtungsvektor der Gerade ist dann der Vektor, der mit dem Parameter multipliziert wird. Bei (a), (b) und (c) kannst du somit immer gleich vorgehen und zunächst die Orthogonalität prüfen und anschließend die entsprechenden weiteren Schritte durchführen.

Bei (e) hast du die Ebene in Normalform gegeben und kannst somit analog zu (a), (b) und (c) vorgehen. Du musst also nur den Normalenvektor der Ebene ablesen.

Bei (d) bin ich mir nicht ganz sicher, welches Vorgehen ihr in der Schule hattet. Du hast die Ebene in Parameterform gegeben, hast also nicht direkt den Normalenvektor der Ebene. Den KÖNNTE man nun berechnen, in dem man das Kreuzprodukt / Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene bestimmt. Anschließend wäre das vorgehen wieder analog zu den anderen Aufgaben. Andererseits könnte man auch prüfen, ob die beiden Richtungsvektoren der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade zusammen linear unabhängig sind. Wenn das der Fall ist, dann schneiden sich Gerade und Ebene. Sind diese 3 Vektoren jedoch linear abhängig weiß man, dass die Ebene und Gerade entweder parallel oder identisch sind.

Aufgabe (3)

Du sollst hier zunächst verschiedene Ebenengleichungen aufstellen (vom Dach und der Leinwand).

Eine Ebenengleichung kann man anhand von 3 gegegeben Punkten aufstellen. Dafür wählst du einen Punkt als Stützvektor der Ebene und stellst dann jeweils Richtungsvektoren zu den anderen 2 Punkten der Ebene auf (Differenz von Punkt und Stützvektor). Diese 2 Richtungsvektoren spannen gemeinsam mit dem Stützvektor die entsprechende Ebene auf. Du hast anschließend eine Ebenengleichung in Parameterform:

Für die Dachfläche wäre das z.B. \( E : \vec{x} = \vec{T} + s\cdot \vec{TU} + t \cdot \vec{TW} \). Die entsprechenden Koordinaten der Punkte T, U und W musst du dir aus der Beschreibung heraussuchen.

Analog gehst du mit den Punkte A, B und M vor. Auch hier kannst du eine Ebene anhand der 3 Punkte aufstellen.

Die Leiste sollte (wenn ich das richtig verstehe) an der Schnittgerade zwischen Dachebene und Stoffebene angebracht werden. Entsprechend musst du die Schnittgerade zwischen 2 Ebenen bestimmen.

Die letzte Aufgabe mit dem Laser läuft darauf hinaus, dass du eine Geradengleichung für den Laserstrahl aufstellst. Du hast die Lichtquelle L und den Richtungsvektor gegeben. Damit lässt sich eine Geradengleichung in Parameterform aufstellen. Anschließend sollst du den Schnittpunkt der Lasergerade mit der Stoffebene berechnet werden (so wie in Aufgabe 1 und 2).