Moin,

Ich versuche folgende Aussage zu beweisen:
Sei \((X, \Vert \cdot \Vert)\) ein normierter oder halbnormierter Raum. Dann gilt
\(X\) ist vollständing \(\iff\) Jede absolut konvergente Reihe in \(X\) konvergiert in \(X\).
Die Hinrichtung habe ich schon bewiesen, bei der Rückrichtung bin ich mir noch unsicher, mein Ansatz ist folgender:

Sei \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) beliebige Cauchyfolge aus \(X\). Dann gilt \(\forall \varepsilon > 0 :  \exists N\in\mathbb N \) mit  \(\Vert x_n - x_m \Vert < \varepsilon, \forall m,n \geq N\) .
Sei \(d_k:= \Vert x_k - x_{k+1}\Vert \). Dann gilt \(\forall k \geq N\), dass \(d_k < (\frac{1}{2})^k\).
Damit ist \( \displaystyle\sum_{k \in \mathbb N} d_k < \displaystyle \sum_{k=1}^N d_k + \displaystyle \sum_{k>N} (\frac{1}{2})^k =: c\).
Daraus folgt dann dass \(\displaystyle \sum_{k\in \mathbb N} \Vert x_k -x_{k+1} \Vert\) konvergiert. Daraus folgt mit der Annahme, dass auch \(\bigg \Vert\displaystyle \sum_{k \in \mathbb N} x_k-x_{k+1} \bigg \Vert := c^* \) konvergiert.
Es gilt: \(c^* = \bigg \Vert\displaystyle \sum_{k \in \mathbb N} x_k-x_{k+1} \bigg \Vert = \lim_{n \rightarrow \infty} \bigg \Vert\sum_{k = 1}^n x_k - x_{k+1}\bigg \Vert = \lim_{n \rightarrow \infty} \Vert x_1- x_{n+1}\Vert\).
Reicht das aus für die Konvergenz von \((x_n)\) in \(X\)? Ich bin mir unsicher.