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Moin annamaria.
Das ist ein klassisches Beispiel für eine schulische Extremwertaufgabe. Die Vorgehensweise ist eigentlich immer gleich.
Die Zielfunktion hast du wahrscheinlich selber schon bestimmt: \(U_{a,b}=2a+b\), \(b\) ist hier die Grundseite.
Für den Flächeninhalt im gleichschenkligen Dreieck gilt: \(A=\dfrac{1}{2}b\cdot h\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{3}=\dfrac{b\cdot h}{2}\)
Außerdem gilt nach dem Satz von Pythagoras: \({\left( \dfrac{b}{2}\right)}^2+h^2=a^2\) \(\Leftrightarrow\) \(h=\sqrt{a^2-\dfrac{b^2}{4}}\)
Setzen wir nun \(h\) in die erste Nebenbedingung ein: \(\sqrt{3}=\dfrac{b\cdot \sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(3=\dfrac{b^2\cdot \left(a^2-\frac{b^2}{4}\right)}{4}\)
Das musst du jetzt nur noch nach \(a\) oder \(b\) umformen, in \(U_{a,b}\) einsetzen und dann minimieren.
Grüße
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Ich bedanke mich sehr herzlich für deine Antwort! Bis dahin bin ich auch gekommen. Das Problem liegt bei mir an der Umformung der letzten Gleichung.... Könntest du vielleicht das auch noch ergänzen?
Ich wäre wirklich sehr dankbar dafür.
LG, Anna ─ annamaria22 15.10.2020 um 22:34
\(3=\frac{b^2\cdot \left( a^2-\frac{b^2}{4}\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow 12 = b^2\cdot \left( a^2-\frac{b^2}{4}\right) \)
\(\Leftrightarrow \frac{12}{b^2}=a^2-\frac{b^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{12}{b^2}+\frac{b^2}{4}=a^2\)
\(\Leftrightarrow a= \sqrt{\frac{12}{b^2}+\frac{b^2}{4}}\)
Die negative Lösung entfällt natürlich, da \(b\) eine Länge ist.
Der Ausdruck ist nicht schön und die Ableitung zur Bestimmung der Extrema ist noch viel unschöner, aber dennoch kommt am Ende ein schönes Ergebnis heraus. Langsam und sorgfältig umstellen, dann wird es schon was.
─ 1+2=3 15.10.2020 um 22:47