Garnicht.
Und doch, man darf durch a oder b teilen, solange diese nicht 0 sind. Dann wäre a=0/b --> a=0. Weil 0 geteilt durch irgendwas ungleich 0, 0 ist.

Es gibt unendlich viele Lösungen für diese Gleichung. Die Bedingung a=b ist eine, aber definitiv nicht allgemein gültig: Beispiel a=0, b=0. D.h. a=b=0. a*b=0 erfüllt. Anderes Beispiel: a=2, b=0, a ungleich b, a*b=0 erfüllt.

Wenn du ein Gleichungssystem hättest aus den Gleichungen a*b=0 und a=b, dann ist a=0 und b=0. Aber bloß weil a*b=0 heißt es nicht, dass a=b.