Du kannst das \( n \) nicht einfach aus der Summe herausziehen, weil das keine Konstante ist. \( n \) ist hier der Laufindex der Summe.

Außerdem ist \( \sum_{n=0}^\infty ( \frac{1}{3} )^n \) eine geometrische Reihe und hat daher nicht den Wert Null, sondern den Wert \( \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \).

Du solltest dich noch einmal intensiv mit dem Thema Reihen auseinandersetzen. Es wirkt so, als hättest du noch nicht richtig verstanden, was eine Reihe überhaupt ist.

Um diese Aufgabe zu lösen, leitest du am besten eine Formel für die Partialsummen her. Schau dir dafür noch mal die Herleitung der geometrischen Summe an. Die habt ihr bestimmt gemacht. Hier kannst du dann etwas sehr ähnliches machen. Betrachte dazu den Ausdruck \( (\frac{1}{3}-1)^2 \cdot \sum_{n=0}^k n (\frac{1}{3})^n \).